対数を使って桁数を求める問題です

nは2以上の自然数であり、9^(k-1)と9^k　の桁数が等しいような、
2≦k≦n　の範囲の自然数kの個数をA(n)とするとき、lim[n→∞]{A(n)/n}を求めよ。

という問題なのですが、ヒントとして、
桁数が等しくないようなkの個数をB(n)とすれば、
A(n)+B(n)＝n-1　である。
という事が書かれていて、これは理解できるのですが、
そこからどう手をつければ良いかわかりません。

ちょっとしたアドバイスで良いので、教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/09/23 12:22

真っ先に思い浮かんだのはNO２さんと同じくワイルの一様分布定理を用いる方法ですが、ヒントからしてそうではなさそうです。

そこで次のように考えました。
n-1かい９をかけてA(n)回は桁数がそのままであり、
B(n)回は桁数が１上がります。
9^nの桁数をｍとすると、ｍは最初の１桁からけたが上がった回数B(n)回を足したもの、
つまりｍ＝B(ｎ)+1となります。
ここで10^(m-1)<9^n<10^m が成り立ちます。
１０を底とする対数をとります。
m-1<nlog9<m m=B(n)+1を代入
よって　B(n)<nlog9<B(n)+1
各項にA(n)を足すと
n-1<A(n)+nlog9<n
各項をnで割ると
1-1/n<A(n)/n+log9<1
はさみうちの原理より
A(n)/n+log9は１に収束する。

No.2 回答者： age_momo 回答日時： 2006/09/21 13:59

とりあえず9^(k-1)と9^kの常用対数をとれば

(k-1)log9,klog9　(logの底は10)

その差はlog9です。桁数が変わらないということは整数部分が
変わらないことですので、ある実数xの小数部分をfrag(x)とすると

frag((k-1)log9)　<　1-log9

であれば桁数が変わらずそれ以上なら桁数が変わります。
とすれば　klog9 の小数部分のエルゴード性を
言えば与式は(1-log9)に収束すると思います。
(ワイルの定理あたりの問題でしょうか？そうで無いなら
全然見当違いの回答ですね)

No.1 回答者： taka_flash33 回答日時： 2006/09/21 10:37

ヒントから察するに、「最初にB(n)をnの式で表すように考えよう」ということだと言えます。

B(n)が求まれば、ヒントの式よりA(n)をもとめる方針です。

そこで「9^(k-1) と 9^k の桁数が等しいか、等しくないか」をもっと深く考えましょう。

大抵は9をかけると桁は上がります。例）729×9=6561
9をかけても桁が上がらない場合は、1000×9=9000 などです。そこから桁数が変わる条件を掴んでいきましょう。