波形でよく出てくるガウス形とローレンツ形ですが、これら半値幅とピークの高さがわかれば形が決まりますよね。
そこで、半値幅とピーク高さの値が求まったとして、面積を求めたいと思っています。半値幅とピーク高さでガウス形とローレンツ形の面積を表わすことができるのでしょうか?面積の公式ってあるのでしょうか?

数学に詳しい方、よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

ガウス(Gauss)型曲線は


(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
です.
(4)を(2)に代入して,ピーク値 A を考慮すればできあがり.

ローレンツ(Lorentz)型は
(5)  L(x) = B/(x^2 + Γ^2)
の形.前と同じく中心は x=0 としています.
ピーク値は x=0 とおいて B/Γ^2 ですね.
こちらも面積の積分は簡単で
(6)  S = ∫{-∞~∞} L(x) = Bπ/Γ
半値幅は
(7)  B/{(w/2)^2 + Γ^2} = (1/2) B/Γ^2
から
(8)  w = 2Γ  ⇔  Γ = w/2
(6)に(8)を代入して,ピーク値 B/Γ^2 を考慮すればできあがり.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

物理関係でSiegmundさんの回答をたくさんお見かけしています。
とてもご丁寧に回答していただいてありがとうございました。公式どおりに計算すれば得られるものだったのですね(もっと難しいと思っていました)
本当にありがとうございました。

お礼日時:2002/04/03 17:14

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Qフィッティング

何らかのピークのデータがあるとしますよね?それをデータ解析するのにフィッティングします。そのときよくあるガウシアンとローレンツィアン。これらがどういうフィッティングなのかを知りたいです。これを知らなかったらどういう場合にどういうフィッティングをしたらいいのかわかりませんよね?例えば、何を見たらのってたりするものなのでしょうか?自分で探してみたけど見つかりません。しかも今現在そのフィッティングが目の前まで差し迫ってきています。誰か助けて!

Aベストアンサー

ガウシアンは最もよく出てくる分布で
 f(x) = 1/(σ√2π)^(1/2)exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}
という形をしています。
ここで、μは平均、σ^2は分散です。

ローレンチアンは、共鳴曲線などで見かける分布で
 g(x) = (1/π)β/{β^2+(x-α)^2}
という形になっています。
こちらは、平均はαですが分散は発散しています。

式を見ればわかるように、ローレンチアンのほうが減衰が遅く裾が広いですね。

Qガウス関数の面積について

ガウス関数の面積を表わす公式はあるのでしょうか?
ガウス関数だけでなく、ローレンツ関数との複合関数の面積の公式はあるのでしょうか?あれば、教えていただきたいのですが。

もしなければ、半値幅は面積と比例関係にあるのでしょうか?

Aベストアンサー

x=-∞から x=∞ までの面積なら
(1)  S = ∫[x=-∞ ~ x=∞] exp(-a^2 x^2) dx = (√π)/a
です.
半値幅は 1/a に比例しますから,結局Sとも比例関係にあります.

ローレンツ関数との複合関数は具体的な形を書かれていませんが
(2)  f(x) = b exp(-a^2 x^2) / (x^2 + b^2)
というつもりでしたら
(3)  ∫[x=-∞ ~ x=∞] f(x) dx = 2(√π) exp(a^2 b^2) Erfc(ab)
であることが知られています.
ただし,Erfc(x) はいわゆる Gauss の誤差関数
(4)  Erfc(x) = ∫[t=x ~ t=∞] exp(-t^2) dt
です.
変数変換すればわかりますように,Erfc(-∞)が本質的に(1)の積分ですね.

Qエクセルのグラフから半値幅を求めたいです

例えば正規分布のようなデータをエクセルで作成しました(ピークがあるグラフになります。)
そのグラフから半値幅をエクセル上で求めたいです。
内挿法も考えましたが扱うデータのサンプルポイント数が少なくて誤差が大きすぎるのです。
今はグラフをプリントアウトして定規と日比例計算から半値幅を求めています。
何か方法をご存じのかた教えていただけますか。

Aベストアンサー

多分そこまで都合の良い方法は無いのではないかという気がします。
私が思いつく方法は2つです。
一つは、そのデータを関数で近似して(GaussianならGaussianで)、近似した関数から半値幅を計算する方法です。
これは近似が信頼できるのなら十分妥当な値が出ますし、もう一つの方法と比べて望ましい手法(理由は後述)です。
もう一つは、離散点の最大値の1/2になる値の幅を数値的に求める方法です。例えば、最大値をy0として、y=y0/2のx軸と平行な直線とデータとの交点を求め、その交点のx座標を半値半幅とします。
ただし、y0/2のラインとちょうど同じy値をデータが持つとは限らないので、少なくとも、近傍のデータ2点から直線を求め、その直線との交点を求める必要があります(できれば3点で2次曲線との交点にする等の方が精度が高くなる)。
こういうことをエクセルで行おうとすると、ワークシートでは無理で、Visual Basicでプログラムを組む必要があるでしょう。
そして何よりも、データに誤差が含まれている(バラつきがある)場合、最大値にも誤差が含まれることになりますから、y0/2にも誤差があり、そして交点を求めるために使用するデータにも誤差があり、ということで求める半値幅がどれくらい信頼できるかは分かりません。
その点、初めの方の関数で近似する方は、誤差が多少あっても近似が妥当であれば、そこそこ信頼できる値が求まるでしょう。
ただし近似(フィッティング)も、エクセルのワークシートだけだと難しいものもあるかもしれません(例えばGaussianのフィッティングはワークシートの関数では無理ではないかと思います)。
その場合はやはりプログラムを組む必要がありますし、その際、最小二乗法の勉強等も必要になるかもしれませんが、測定データ等を既知の関数でフィッティングするのはごくありふれた(ということは信頼できる)手法ですので、お勧めしておきます。
ただ、いずれの方法でも、あるいはいかなる方法でも、データ点数が少なすぎると、当然信頼度は下がります。
それは半値幅を求める手法に関する検討とは別の問題です。

多分そこまで都合の良い方法は無いのではないかという気がします。
私が思いつく方法は2つです。
一つは、そのデータを関数で近似して(GaussianならGaussianで)、近似した関数から半値幅を計算する方法です。
これは近似が信頼できるのなら十分妥当な値が出ますし、もう一つの方法と比べて望ましい手法(理由は後述)です。
もう一つは、離散点の最大値の1/2になる値の幅を数値的に求める方法です。例えば、最大値をy0として、y=y0/2のx軸と平行な直線とデータとの交点を求め、その交点のx座標を半値半幅とします。
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Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qガウシアン関数へのフィッティングについて

現在、ガウシアン関数y=a+b*exp(-(x-c)^2/d^2)に下記のようなデータを使用しフィッティングを行いたいのですが、
手法やパラメータa,b,c,dの求め方がわかりません。
どなたか教えていただけませんか。
よろしくお願いいたします。
(x,y)={
48.8006092
48.8056105
48.8105942
48.8156000
48.8206021
48.8256127
48.8306131
48.8356169
48.8406146
48.8456077
48.8506141
48.8556236
48.8606115
48.8656179
48.8706296
48.8756176
48.8806272
48.8856294
.....}

Aベストアンサー

Excelしか使えないのであれば、ソルバーを使って、以下の手順で「残差2乗和」を最小とするパラメータ a, b, c, d を探すと良いでしょう。ただし、パラメータの初期値があまりかけ離れていると変な値に収束するか解が見つかりません。a, b, c は元のデータのグラフから見当をつけられると思います( a はベースライン高さ、b はピーク高さ、 c はピーク位置x)。d は直感では見当をつけられないので、(ピークの半値全幅)/1.67 で計算してそれを初期値としてください。

【ソルバーを使った最小自乗法】
(1) Excelのメニューの [ツール] → [アドイン] で [ソルバーアドイン] の左側の□をチェックして OK
(2) A列に x データ、B列に y データを書き込む( x は A1 から、y は B1 から下方向に書き込む)
(3) D1からD4にフィッティングパラメータの初期値を書き込む(a → D1、b → D2、c → D3、d → D4)
(4) セル C1 に以下の式を貼り付ける(これをCopy&Paste)
   =($D$1+$D$2*EXP(-1*(A1-$D$3)^2/($D$4)^2)-B1)^2
(5) セルC1をコピーして、C2以下の全データ分のC列にペースト(これでC列=「残差2乗」となる)
(6) セルD5 に =sum(C1:C??)と書く(??はC列最後の行番号)
(7) Excelのメニューの [ツール] → [ソルバー] で [目的セル」を $D$5、[目標値] を 最小、[変化させるセル]を $D$1:$D$4 とする。この意味は、「セルD1~D4に書かれている数値を変化させて、 D5セルを最小となるようにする」ということです。
(8) ソルバーウィンドウのオプションボタンをクリック → 制限時間を 1000、反復回数を 1000、精度・公差・収束をすべて 1e-10 とし、OKをクリック
(9) ソルバーウィンドウの実行ボタンをクリック
(10) フィッティングパラメータが見つかったら、「最適解が見つかりました・・」と出るので、OKをクリック
(11) ExcelのセルD1~D4にフィッティングパラメータが書き込まれている

なお、精度・公差・収束の値をあまり小さくすると収束しないので、もしデータのばらつきが大きくて収束しないときは、これらの値を適宜、大きくしていってみてください。ご質問のデータはGaussianのほんの1部でしたのでこちらで実験することはできませんでした。ちなみに私は通常、カレイダグラフというグラフソフトで任意関数のフィッティングをやっています。

Excelしか使えないのであれば、ソルバーを使って、以下の手順で「残差2乗和」を最小とするパラメータ a, b, c, d を探すと良いでしょう。ただし、パラメータの初期値があまりかけ離れていると変な値に収束するか解が見つかりません。a, b, c は元のデータのグラフから見当をつけられると思います( a はベースライン高さ、b はピーク高さ、 c はピーク位置x)。d は直感では見当をつけられないので、(ピークの半値全幅)/1.67 で計算してそれを初期値としてください。

【ソルバーを使った最小自乗法】
(1...続きを読む

Qgnuplot で フォークト関数(ガウス+ローレンツ関数)のフィット

自然共鳴幅をもったピークフィット解析をgnuplotでしたいと考えています。
ガウシアンとローレンツ関数を畳み込んだものはフォークト関数
と呼ばれるそうですが、この関数を近似的にでもかまわないので
解析的にあらわすことはできないのでしょうか?
検索をしたところどうしてもフォークト関数を表すには
積分が入ってしまうそうなのでgnuplotではフィットできないのではと困っています。
数値解析てきな処方で構わないのですが何かご存じないですか?

(自作のフィッティングルーチンを作ればいいのでしょうが、それちょっと
 大変なので何とかgnuplotでやってしまいたい、と考えています)

Aベストアンサー

疑似フォークト関数(Pseudo-Voigt function)という関数があります。
リンク先に載っているのを見ればわかると思いますが、単純にガウス分布とローレンツ分布を足し合わせただけのものです。
2通りパターンがあって、幅をそれぞれ独立として扱うか、同一として扱うかの違いで、用途によって使い分けます。

実際にフォークト関数でフィットするのは光電子分光などの電子系のスペクトルだと思いますが、それはそれぞれの幅(ドップラー幅とローレンツ幅)を知ることにより、それの由来を考察するためであることがほとんどだと思われます。なので、できれば疑似ではないフォークト関数でフィットしようと試みることをお勧めします。なぜなら、おそらく質問内容を踏まえるに、綺麗にフィットできることに自己満足して物理的な意味のないフィッティングになってしまうだろうからです。

光電子分光系の研究室では、主にリンク先で挙げたOriginというデータ解析ソフトを使用することが多い(と思われます)。教授に研究室にライセンスがないか聞いてみてはどうでしょうか?
また、先ほど述べた各幅の物理的な意味は、量子光学の教科書を読めば絶対載っています。理解を深めるために一度目を通すことをお勧めします。

参考URL:http://www.lightstone.co.jp/products/origin/pfmfunc/funclist.htm

疑似フォークト関数(Pseudo-Voigt function)という関数があります。
リンク先に載っているのを見ればわかると思いますが、単純にガウス分布とローレンツ分布を足し合わせただけのものです。
2通りパターンがあって、幅をそれぞれ独立として扱うか、同一として扱うかの違いで、用途によって使い分けます。

実際にフォークト関数でフィットするのは光電子分光などの電子系のスペクトルだと思いますが、それはそれぞれの幅(ドップラー幅とローレンツ幅)を知ることにより、それの由来を考察するためであることが...続きを読む

Qスペクトルの Fitting について

XPSを用いて測定したスペクトルの
Fitting がうまくいきません。

光イオン化断面積の大きな準位の
比較的対称なピークさえ、
うまくフィットすることができません…
Gauss関数を用いたFittingではうまくいかないものなのでしょうか?

ピークの形に影響を及ぼす要因は
いくつか考えられるのですが
ピークフィットするにあたり
それぞれの要因に対して、どのように重みをつけるべきなのか
全く分かりません

ピークフィットするにあたってよい方法があれば教えてください

Aベストアンサー

#1です。 
◇弾性散乱が主要因です。
お問い合わせの参考資料として、下記HPのNo.1679
XPSにおいて発生分布の非対称に与える弾性散乱効果の検討
佐藤 仁美、田中 彰博、一村 信吾、城 昌利、田沼 繁夫、吉原 一紘
などは kuwamanmaさんのご希望に添える回答として如何でしょうか?

実際、XPS分析にて波形分離すると非対称性入力項がありますネ。

PS;これから出張なので、暫く回答出来ませんが申し訳ございません。

参考URL:http://www-surface.phys.s.u-tokyo.ac.jp/sssj/Vol17/Vol17_08.htm

Qローレンツ分布?ガウス分布?

原子の発光スペクトルなどはローレンツ分布になると思うのですが、人工的な構造物であるGaAs/AlGaAsなどの量子井戸の発光はガウス分布とローレンツ分布どちらに従うのでしょうか?
「理想的にはローレンツ分布、でも実際できる量子井戸は井戸幅に揺らぎなどがあるからガウス分布に従う」と考えるのが妥当なのでしょうか?(そんなに構造に揺らぎがでるかどうか疑問です。)
また、温度によって電子の分布が変わると思うのですが、このことで低温でローレンツ分布だったのが高温でガウス分布に遷移するというようなことは起こるのでしょうか?
参考になる話やHP、文献などがあったら教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>原子の発光スペクトルなどはローレンツ分布になると思うのですが

ひとつのエネルギーのδ関数的な電子ビームなら,自然幅が
顕著に見えるかも知れませんが,実際の電子ビームですら,
それなりに分布を持っています.
また,集団の場合には,実際には原子励起に起因する電子の
速度分布がマクスウェル分布なので,
原子線スペクトルはガウス分布となります.
ローレンツ分布に寄与するのは自然幅,圧力幅,シュタルク幅で,
これらが加わるとスペクトル形状はフォークト関数になります.
実際にはローレンツ分布となる自然幅は,室温~高温では
他の広がりと比べてとても小さく,グロー管などのような低温の
場合でも圧力広がり等の方が顕著だと思います.

固体については分かりません,すみません.

QExcelでGaussian fittingをしたいのですが、どうすれば良いですか?

A1・・・A1001にx軸の値が
B1・・・B1001にy軸の値が入っているとします。
このデータをグラフ化したのちに、ガウシアン関数y=a+b*exp(-(x-c)^2/d^2)に対してフィッティングを行い、それぞれの定数を算出及び、その算出されたグラフを上に乗せるということをしたいのですが、
Excel VBAを使ってどのようにすれば良いのでしょうか?

また、ピークが1本ではなく2本ある場合Multipeak Gaussian fittingというものでそれぞれのピークに対してフィッティングすることもできるそうなのですが、できればその方法についても教えて頂けないでしょうか?

自分でひな形くらい作って質問したいところですが、全くどうやって作れば良いのか検討もつかないのでどなたかよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

こんにちは、

http://nuclear.phys.tohoku.ac.jp/~ykoba/latex2html/gaussian-fitting/

これのことですか???

これのことなら、二次の最小二乗法を理解していれば
でるようですが、

これの事とは、違うのですか。
若干ガウシアンの式の形が違うようですが。


マルチは、ちょっと解りません。

Q半値幅の測り方

半値幅の測り方は知っているのですが、少しわからないところがありますので、教えていただきたいです!!
今、あるデータをExcelに取り込んでグラフを表示しています。ここで、いくつかのピーク値があるので、そのピークごとの半値幅を測って、ピークの高さ×半値幅で積分強度を出さなければいけません。

で、横軸が角度2θ、縦軸がピークの高さです。ピークの高さはそのままの値を取り出せばよいのですが、半値幅の単位って何でしょうか??半値幅をはかりやすいようにグラフを大きくして測ったりすると、半値幅をものさしなどで測ると半値幅の長さ変わってきてしまいます。
この半値幅の単位というのは、角度なんでしょうか??

質問の仕方が下手ですいませんがよろしくお願いします。。。

Aベストアンサー

半値幅であれ10分の1幅であれ、何であれ、分布の広がりの幅。分布の広がりをいうとき、それは重さだったり長さだったり、千差万別だけどそれを知らずにデータ整理なんてできませんよね。ヒストグラムを描くとき、横軸にふる値でその単位は決まるでしょ?
あなたの場合は角度。
だから、あなたのグラフの横軸は角度でなくてはなりません。
エクセルにグラフを描かせるとき、縦軸の値だけしか入れてないのではないですか?そしたら横軸は単にデータの番号になります。ちゃんと横軸の値も入れてグラフを描かせればすむ話かと思いますが。


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