波形でよく出てくるガウス形とローレンツ形ですが、これら半値幅とピークの高さがわかれば形が決まりますよね。
そこで、半値幅とピーク高さの値が求まったとして、面積を求めたいと思っています。半値幅とピーク高さでガウス形とローレンツ形の面積を表わすことができるのでしょうか?面積の公式ってあるのでしょうか?

数学に詳しい方、よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

ガウス(Gauss)型曲線は


(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
です.
(4)を(2)に代入して,ピーク値 A を考慮すればできあがり.

ローレンツ(Lorentz)型は
(5)  L(x) = B/(x^2 + Γ^2)
の形.前と同じく中心は x=0 としています.
ピーク値は x=0 とおいて B/Γ^2 ですね.
こちらも面積の積分は簡単で
(6)  S = ∫{-∞~∞} L(x) = Bπ/Γ
半値幅は
(7)  B/{(w/2)^2 + Γ^2} = (1/2) B/Γ^2
から
(8)  w = 2Γ  ⇔  Γ = w/2
(6)に(8)を代入して,ピーク値 B/Γ^2 を考慮すればできあがり.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

物理関係でSiegmundさんの回答をたくさんお見かけしています。
とてもご丁寧に回答していただいてありがとうございました。公式どおりに計算すれば得られるものだったのですね(もっと難しいと思っていました)
本当にありがとうございました。

お礼日時:2002/04/03 17:14

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2.トレース
3.行列式
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>1.階数
>2.トレース
>3.行列式
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Aベストアンサー

ANo1 です。
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他の正方形についても同様。
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平行四辺形ACC1A1はBCC2B2と合同。
ゆえに,正方形CAA2C2+ABB3A3-BCC1B1=平行四辺形ABB2A2×2
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∠BAC=一定 ⇔ ∠ABB2=一定 ⇔ (CA^2+AB^2-BC^2)/(AB×AC)=一定

余弦定理を使ってよければ
∠A=一定 ⇔ (b^2+c^2-a^2)/(2bc)=cosA=一定
というだけのことです。

上の説明の図をかくと,余弦定理の(ピタゴラスの定理を用いない)証明になっています。

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ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
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歴史的なことはよくわかりませんので他の方に期待しつつ,ローレンツ力の電磁気学上の位置について思うところを述べます。

マクスウェル方程式は電磁場の生成と変化についての法則を記述したものですから,ローレンツ力の表式が含まれないのは当然かもしれません。その意味では後者は「浮いた」存在といえるでしょう。

ローレンツ力の表式はもちろん,電荷が電磁場から受ける力に対する法則ですから,マクスウェル方程式に自動的に含まれる性質のものではありませんが,原理的な意味は速度v(<<c)をもつ座標系K'に移ると
E'=E+v×B
と電場が変換されるということです。あとは,電気力と電場の関係(または電場の定義?)F=qEがあれば十分というわけですね。

上の変換はマクスウェル方程式と無関係ではなく,マクスウェル方程式がK'においても形を変えない(共変的である)ために,電磁場が4元テンソルとして記述されることが明らかであり,そしてそのローレンツ変換によって上のような電磁場の変換が導き出されるという関係にあります。ローレンツ力の表式は,実は電磁場のローレンツ変換を意味しているのです。

歴史的なことはよくわかりませんので他の方に期待しつつ,ローレンツ力の電磁気学上の位置について思うところを述べます。

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高校数学です。

底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の最大値を求めよ。


という問題です。どうやって解くのか教えてください。

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底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 + ((h^2+1)/2)^2 ) <ここまですべて平方根の中です>

したがって,a^2= -(h^2-1)/2 =(1-h^2)/2 のとき,すなわちa=√(1-h^2)のとき
最大値 (h^2+1)/2
ただし,これはh<=1 の場合

h>1の場合は,a=0のとき最大でS= h

底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
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S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

マクスウェルの応力からローレンツ力を計算する事も可能なはずです。

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Aベストアンサー

f(x)=a*e^(-x^2)
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このときのxは、

a/2=a*e^(-x^2)
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1/2=e^(-x^2)
だから、両辺の対数を取ると、
log(1/2)=log(e^(-x^2))=-x^2
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x^2=-log(1/2)=log(2)
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x=±√(log(2)=±0.832
だから、半値幅は、

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だろうね。

式の変形なんか基本的なことだから、わからないなんて言わないように勉強する。


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