応力計算

電子系のもので機械の応力の問題で困っています。応力６成分σx=120,σy=80,σz=-100,τxy=70,τyz=50,τzx=-30MPaで方向余弦がl,m,nが1/2,1/2,>0のとき面に作用する応力P、垂直応力σ、せん断応力τ、Pとσのなす角を求めたいのですが、この方向余弦が良く分かりません。X、ｙ、ｚ方向のそれぞれの力のつりあい(例：X＝σx*l+τxy*m+τzx*n)を考えP^2=σ^2＋τ^2,P=X^2+Y^2+Z^2等の式を用いて計算するのだと思うのですが、方向余弦の意味が良く分からないため(特にｎ)解くことができません。どなたかご解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/10/29 09:30

ベクトルの内積の表現は二つあります。

A↑=(Ax,Ay,Az),B↑=(BX,By,Bz)として

まず一つ目は：A↑・B↑=AxBx＋AyBy＋AzBz

二つ目が、A↑とB↑のなす角をθとして
A↑・B↑=｜A↑∥B↑｜cosθ
｜　｜はベクトルの絶対値を意味します。

よって｜A↑∥B↑｜cosθ=AxBx＋AyBy＋AzBz
だからcosθ=(AxBx＋AyBy＋AzBz)/｜A↑∥B↑｜
これを、A↑をP↑、B↑をσ↑として適用するだけです。

ただ、σ↑の単位ベクトルは方向余弦ベクトル:(l,m,n)なので
σ↑の代わりに方向余弦ベクトルを使っても大丈夫です。
そのほうが絶対値の計算の時にいくらか楽です。
絶対値の計算は、例えばA↑なら、
｜A↑｜=√(Ax^2＋Ay^2＋Az^2)　 などとなります。

この回答へのお礼

何度も答えていただき助かりました。わかりやすい解説どうもありがとうございました。

お礼日時：2006/10/29 13:43

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/10/26 23:21

方向余弦とは単位ベクトルのことです。

(l,m,n)というベクトルが与えられたら、そのベクトルの方向
に対して垂直な面を考えると言うことです。何故なら、応力と言うのは
ある空間における点(x,y,z)だけ与えても定まらないからです。
その点がどの面上にあるのかまで指定しなければ応力は定まりません。
方向余弦が(1/2,1/2,0)なら、これはz軸に対して平行で、かつ
x,y軸と各々45度で交わっているような面を指定しています。
（正確には(1/√2,1/√2,0)と規格化します。）
また、実際の計算は、コーシーの公式を使うのではないでしょうか？
応力テンソルの行列(対称行列)×(l,m,n)t=(Px,Py,Pz)t
(tは転置して列ベクトルにしていると言う意味です。)
垂直応力は、P↑が求まったら、面に垂直な単位ベクトルk↑と
P↑との内積により求まります。P↑・k↑
この場合k↑は、方向余弦です。P↑と方向余弦の内積で
垂直応力が出ます。Pxl＋Pym＋Pzn=垂直応力σ
残りのせん断応力は、ご質問に書いてあるとおりです
τ=√(P^2-σ^2)

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。ちなみにPとσのなす角はどのようにして求めればいよいのでしょうか？

補足日時：2006/10/27 19:32