分散の計算では、nで割る母分散と、(n-1)で割る不偏分散がありますが
なぜ(n-1)で割るのか、いまいち直感に訴える説明に出会っていません。
たいていの本では、天下り式に「(n-1)で割る」とだけしか書いて
いません。たまに親切な本では計算式に平均値が入っているので自由度は
nから1だけ少なくなる云々とありますが、自由度が何故1減らなければ
ならないのか、いまいち理解出来ません。
もう少し高度な本になると、期待値Eやら分散Vやらが出て来て、
不偏統計量云々の「ややこしい」説明が出て来ますが、これも直感に
訴えかける説明ではありません。
数物系出身ながらお恥ずかしい質問ですが、いざ自分に問いかけてみると
納得できる説明が出来ません。「なるほど!」というご説明をいただけると
幸いです。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

>自由度とは何を意味するのでしょうか?


数学的正確さがない表現です。

測定点がn個あったとします。これをベクトルで考えると.これから求めようとする値である1点の点はn個の方向へ引っ張られているのです。この数が自由度です。
もし.このn個の中の数の1つを使ってしまったらばどうなるのでしょうか。一つ引っ張る方向が減ります。
世の中にnこしか測定点が存在しない場合には.全体が決まっていますから平均値を求めても自由度は変化しません。しかし.無数の測定が出来る時に平均を求めたらばどうなるのでしょうか。本来無数の点すべてを測定した時に求められる1点の値が分からないから.n個の測定値の算術平均を取って多分全体の点の1点になるであろうと推定して平均としました。つまり.絶対的な値ではなくて想像上の点です。今まであった点に変えてこの点を使いますから.引っ張る方向が一つ減ります。
自由度で割るというのは.このように引っ張る点1点あたりの割合を示しています。

このように.一つの値を求めようとした時に.自由度は測定点の数から推定点の数を引いた残りを示しています。
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この回答へのお礼

平均値は観測値から計算される物との固定観念を取り去って
ほかの観測値と同じデータの一つと考えると、edogawaranpoさんの説明も
なんとなくイメージがつかめてきました。ありがとうございます。

お礼日時:2002/04/25 12:25

私も統計的自由度というのがいまいちわかりませんが計算だけなら



確率変数Xの確率分布P(X)があるとします。
このとき標本 Xi (i=1~n) で平均m= ΣXi/n として
<Σ(Xi-m)^2>を計算します。
P(X1)P(X2)・・・P(Xn)
が{Xi (i=1~n)}の確率で
∫dX1 P(X1) ∫dX2 P(X2)・・・∫dXn P(Xn) Σ(Xi-m)^2 ...(※)
を展開して母集団の分散
∫dX P(X)(X-<X>)^2
との関係を導くと(※)をn-1で割ればいいことがわかります。

この計算においては、∫dX P(X)(X-<X>)^2という1体問題と
(※)というn体問題の関係を求めているわけですが
このときn-1は結局、n体問題の関係を1体問題にするときに
XiXj(i,j=1~n) のなかから
相関のない2つのパラメータの関係(XiXj) (i=jでない)
(すなわち本質的な1体問題と)
相関のある自分自身(Xi^2)との関係を
分離することによって出てくるものです。
すなわち、サンプル平均とサンプルの値 Xi (i=1~n) を通して相関がある値が
発生するために自由度が減少しているという計算になっているように見えます。
(力学でいえば、統計的に等質量の質点のサンプルから
 重心と慣性モーメントを求めたときに、
 本当の重心の位置とサンプルの重心の違いがあるために、
 サンプルの慣性モーメントが小さく見えてしまう
 (ので、1個あたり揺らぎの大きさn^(-1/2)ずつ加算して
 n個で丁度和の自乗が1になる揺らぎを含んでいるので
 その分1だけ小さい値で割る)
 ということに対応しているのでしょうか?)
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正確さが欠けるのですが.以下の説明ではどうでしょうか。



分散の計算では.自由度で割るということが原則です。
ですから.
全数サンプリングの場合には.nで割る。平均値は推定値ではありませんから。
部分サンプリングでは.推定値として1つ「平均値」を使ってしまいましたから.n-1で割る。
重み補正をした場合には.重みに使用した自由度(普通1個)と推定値の「平均値」の合計2個の値を使ってしまいましたから.n-2で割る。
欠点補正をした場合には.1点の補正につき1点の自由度が減少します。2点の欠点がある場合に.2点の補正値を推定して.推定値の平均を1つ.合計3つの値を使ってしまいましたから.n-3で割る。
と考えて行きます。その分散を求めるためにいくつの推定値を使ったか.使った分を除くという考え方に立ちます。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。

edogawaranpoさんの書かれた解答は、一般的な教科書の正統な解答だと
理解しています。ここで、私が理解できないのは
1、「分散の計算では自由度で割るということが原則」とありますが
分散の定義を数学辞典で調べると、平均と標本値の差の自乗の平均が
分散だとしてnで割る場合が書かれています。ところが「(n-1)で割る
場合もある」などと曖昧な表現も追記されています。
自由度で割るというのは定義ですか?
2、そもそも、自由度とは何を意味するのでしょうか?

分散とは、平均と標本値の差の自乗の平均という「高校生向け」定義は
数直線上に標本値と平均値をプロットしながら、「分散とはこういうも
のだ」と図示しながら説明がしやすいものです。
しかしながら自由度なるパラメータが出て来て、nで割るはずの平均が
(n-1)で割るというのは、視覚に訴えるものが無くて困っています。

なぜ?という疑問を持ち出すと、いままでの自分の理解が浅い事が
痛感されます。

補足日時:2002/04/10 06:54
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Q母標準偏差・標本標準偏差と標本平均(Xバー)の標準偏差

(聞きたいのは、最後の3行がメインです)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3478996.html
の質問をしたものです。

標準偏差を求めるとき、(ルートの中の)分母が「n」か「n-1」
の2種類があることはわかりました。
母標準偏差であっても標本標準偏差であっても「n」で求められる
が、標本から母標準偏差を推定するときが「n-1」を使うという
ことで理解しました。

ところで、「n」にしても「n-1」にしてもそんなに値としては
変わらないということなんですよね?

高校の時の教科書で、「標本平均(Xバー)の標準偏差」という
のがありました。
 「母平均m、母標準偏差sの母集団から大きさnの無作為標本
 抽出するとき、標本平均Xバーの標準偏差σ=s/(ルートn)」
というのがありました。
 「標本標準偏差」とこの「標本平均Xバーの標準偏差」というの
は全然違うものなんですよね?(値も全然違うものになってしま
うと思います。)

Aベストアンサー

 統計学での目的は、集団全体のこと、すなわち母集団について知ることです。

 標準偏差は、集団のばらつきの程度を示し、本当に知りたいのは母集団の標準偏差、すなわち、母標準偏差です。しかし、母標準偏差が現実には求められない場合があります。一つは標本数が多すぎる場合、もう一つは蛍光灯の寿命のように全てを調べると商品が残らなくなつてしまう場合です。
 そこで、仕方なくその一部を取り出す(=抽出して)、母集団のバラツキを推定します。母集団を推定するためには、いくつかを標本として選び、その標準偏差、すなわち標本標準偏差(不偏標準偏差ともいう)を代わりに用いることになります。標本は、ランダムサンプリングをするので、選ぶたびに異なり、そのバラツキは母集団とは同一の標本にはなりません
 そこで、母標準偏差はnで割るので、標本標準偏差はn-1で割っておけばやや広い範囲になるので、標本の選択が少々不味くても、広めに取ってあるのでカバーできることになります(数学的には証明できるようですが、私には無理なので、直感的に表現しました)。もちろん、標本数が大きければ、nであろうが、n-1であろうが大差はありません。このようにして、計算が非現実的な母集団のバラツキを推定するわけです。標本標準偏差は、母標準偏差の代理なのです。

>標本平均Xバーの標準偏差
 標準偏差は、母集団のバラツキを示します。標本標準偏差は、母集団のバラツキの推定値です。
 これは、標準誤差で、母集団から抽出した「標本の平均値のバラツキ」を示しています。平均ですから、再度nで割り算することになります。外国人の論文には、バラツキがグラフ上などでは小さく見えるので、標本標準偏差(母集団のバラツキの推定値)ではなく、この標準誤差(標本の平均値のバラツキ)で示したものを見かけます。

 なお、標準偏差は、英語ではStandard Deviation、エクセルではSTDEVPでPの根拠が不明。標準誤差は、英語ではPartial Standard Deviation、エクセルはSTDEVで、Patialの単語の部分が見当たりません。エクセルの関数を使うときは、逆にやりそうで、いつも混乱しています。

 統計学での目的は、集団全体のこと、すなわち母集団について知ることです。

 標準偏差は、集団のばらつきの程度を示し、本当に知りたいのは母集団の標準偏差、すなわち、母標準偏差です。しかし、母標準偏差が現実には求められない場合があります。一つは標本数が多すぎる場合、もう一つは蛍光灯の寿命のように全てを調べると商品が残らなくなつてしまう場合です。
 そこで、仕方なくその一部を取り出す(=抽出して)、母集団のバラツキを推定します。母集団を推定するためには、いくつかを標本として選び、...続きを読む

Q標準偏差の計算方法:「n」と「n-1」(n:データの総数)

標準偏差を求めるとき、データの総数「n」で割る場合と、「n-1」で割る場合があるそうですが、この違いは何でしょうか?
あまり難しいことは分からないので分かりやすいように解説していただけるとうれしいです。
補足を載せることになるかもしれないのでそれもよろしくお願いします。
回答よろしくお願いします。

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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3488249.html

Q標本分散と不偏分散の使い分けについて。

標本分散と不偏分散の使い分けについて。

私はメーカーに勤めており、電子部品のばらつきなどでよく標準偏差σを目にします。
自分で少し調べてみると標準偏差にも標本分散を使うときと不偏分散を使うときがあることを知ったのですが、説明が難しくどのように使い分けていいのか分かりません。

標本分散と不偏分散はどのように使い分ければいいのでしょうか。
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ご存知の方、教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 母集団から全ての標本を抽出して得た、すなわち、全てのデータを使った分散を標本分散、というようです。しかし、標本分散の文字から、抽出した標本の分散という意味から、不偏分散の意味でも使う(私もそうでした)こともあり、標本分散がどちらなのか、混乱しています。質問者も標本分散をこの意味で使っていると想います。

 母集団のデータを知るのが統計学では目的ですが、それには全数(全サンプル)を利用する必要があります。しかし、製品検査などでは、全数検査だと商品が残らない、あるいは手間がかかり過ぎるので抜き取りを行い、全数検査の替わりにできます。この場合の分散は、不偏分散で代用ができます、というのが推測統計学です。

 すなわち、全数検査(文字通り全数、一つ欠けてもダメ)なら標本分散(この用語は混乱を招くので、私は使いませんが)、抜き取りなら不偏分散を利用しています。

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q相関係数についてくるP値とは何ですか?

相関係数についてくるP値の意味がわかりません。

r=0.90 (P<0.001)

P=0.05で相関がない

という表現は何を意味しているのでしょうか?
またMS Excelを使ってのP値の計算方法を教えてください。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

pは確率(probability)のpです。全く相関のない数字を組み合わせたときにそのr値が出る確率をあらわしています。

統計・確率には100%言い切れることはまずありません。というか100%言い切れるのなら統計・確率を使う必要は有りません。
例えばサイコロを5回振って全て同じ目が出る確率は0.08%です。そんな時、そのサイコロを不良品(イカサマ?)と結論つけるとわずかに間違っている可能性が残っています。ただ、それが5%以下ならp=0.05でそのサイコロは正常ではないと結論付けます。
それが危険率です。(この場合はp=0.1%でもいいと思いますが)
相関係数においても相関の有無を結論つけるにはそのrが偶然出る確率を出すか、5%の確率ならrがどれぐらいの値が出るかを知っておく必要が有ります。

>r=0.90 (P<0.001)

相関係数は0.90と計算された。相関がないのに偶然r=0.90 となる確率は0.001以下だと言ってます。

>P=0.05で相関がない

相関がないと結論。(間違っている確率は5%以下)だと言ってます。

エクセルでの計算ですが、まず関数CORRELを使ってr値を出します。xデータがA1からA10に、yデータがB1からB10に入っているとして

r=CORREL(A1:A10,B1:B10)

次にそのr値をt値に変換します。

t=r*(n-2)^0.5/(1-r^2)^0.5

ここでnは組みデータの数です。((x1,y1),(x2,y2),・・・(xn,yn))
最後に関数TDISTで確率に変換します。両側です。

p=TDIST(t値,n-2,2)

もっと簡単な方法があるかも知れませんが、私ならこう計算します。(アドインの分析ツールを使う以外は)

pは確率(probability)のpです。全く相関のない数字を組み合わせたときにそのr値が出る確率をあらわしています。

統計・確率には100%言い切れることはまずありません。というか100%言い切れるのなら統計・確率を使う必要は有りません。
例えばサイコロを5回振って全て同じ目が出る確率は0.08%です。そんな時、そのサイコロを不良品(イカサマ?)と結論つけるとわずかに間違っている可能性が残っています。ただ、それが5%以下ならp=0.05でそのサイコロは正常ではないと結論付けます。
それが危険率です。(この場...続きを読む

Q統計学 t値の表を見るときの自由度

自由度Φ は (データ数-1) か、(データ数-2)のどちらを選ぶべきか、基準を教えて下さい。
t値の表を見るとき、迷っています。
データ数によってなのか、母平均に対応のあるないと関係があるのか・・・

Aベストアンサー

こんにちは.
t検定はその使用目的から三つの場合で自由度を見分ける必要があります.

1)ある条件の平均値と定数との差の検定の場合
 例えば,ある学級集団のIQが102であり,全国平均のIQ100よりも有意に高いといえるかどうか.このような場合にt検定を使う場合は次の計算で自由度を求めます.

 自由度=データ数-1

2)対応がない二つの条件の平均値の差の検定
 質問者さんは対応なし/ありの区別がついているようなので,以下簡単に説明をします.
 A条件で10人,B条件で8人のデータにおいてAとBの二つの平均値の差を調べる場合では次のようになります.

 自由度=Aデータ数+Bデータ数-2
 例) 16

3)対応がある二つの条件の平均値の差の検定
 この場合では,AB条件ともに同数データとなります.いまA条件データ数(=B条件データ数)が9とします.

 自由度=一方の条件データ数-1
 例) 8

Qt検定で自由度がn-1の場合と、n-2の場合の違いは??

t検定で自由度がn-1の場合と、n-2の場合の違いは、なんでしょうか??対応があるものの検定は、n-1で、対応がない場合には、n-2なのでしょうか??
(対応がある時にも、n-2を使っているようだったのでよくわかりませんでした。)

あと、t検定の前には、F検定を必ずしなければいけないのでしょうか?
あまり詳しくないのでわかりやすく教えていただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

平均値の差の検定ですね。
最近は全部計算気任せなので計算方法を覚えていません。
何かの推定値を求めると求めた数だけ自由度が減ります。
これがn-1とn-2の違いです。

F検定は分散ヒの検定ですね。
対応がない場合には.2つの分布がとう分散である必要があります。従って分散比の検定が必要です。
対応がある場合には.とう分散である必要はありませんから.とう分散の検定はしません。

Qカイ2乗検定って何??;;

タイトルのとおりですが…大学で統計の基礎な授業を一般教養で受けています。だけど知らない&説明のない言葉がいっぱぃで、全くついていけません(>_<))
「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、有意水準1%としてカイ2乗検定をして判断する、という問題があるのですが、カイ2乗検定自体、授業でちらっと言葉は使ったものの、計算の仕方、使い方の説明等はなく、まったく手がつかずにいます;;ネットでも調べてみましたが、どう使っていいのかまでは分かりませんでした。
知識の無い私でもわかるようなものがあれば教えて下さいっっ!お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布とは,二乗値に関する確率分布と考えることができるのですが,この辺もさらりと流して下さい.

例を使って説明します.今,道行く人にA,B,C,Dの四枚のカードの中から好きなもの一枚を選んでもらうとしましょう(ただし,選んでもらうだけで,あげるわけではありません.単にどのカードを選択仕方の情報を得るだけです).一人一枚だけの条件で,160人にカードを選んでもらいました.
さて,ここで考えてみて下さい.4枚のカードには大きな違いはなく,どれを選んでもかまわない.でたらめに選ぶとなれば,どのカードも1/4で,同じ確率で,選ばれるはずですよね? ならば,160人データならば,Aは何枚ほど選ばれる「はず」でしょうか? 同様に,B,C,Dは何枚選ばれる「はず」でしょうか?
……当然,A=B=C=D=40枚の「はず」ですよね? この40枚という数値はでたらめに(無作為に)選ばれたとしたらどんな数値になるかの【理論値】を意味します.

さて,上記はあくまでも理論値であり,実際のデータは異なる可能性があります.というよりはむしろ違っているのがふつうでしょう.そのような実際に観測された数値を【観測値】と呼びます.
仮に理論値と観測値が以下のようになったとします.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40

当然のように観測値と理論値にズレが生じています.しかし現実と理論が異なるのはある意味当然なのですからぴったり一致することなどありえません.そこで,「ある程度一致しているか(ズレは許容範囲か)」を問題にすることになります.しかし,「ある程度」といわれても一体どのぐらいであれば「ある程度」と言えるのでしょうか? なかなか判断が難しいではないですか?
確かに判断が難しいです.そこで,この判断のために統計学の力を借りて判断するわけで,更に言えばこのような目的(理論値と観測値のズレが許容範囲かどうか)を検討するときに使われるデータ解析法がχ2検定なのです.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40
(3)ズレ    +32   -17   -14   + 9
(4)ズレ二乗 1024   289   196   81
(5)(4)÷(2) 25.6  7.225  4.9  2.025

 χ2=25.6+7.225+4.9+2.025=49.25

計算過程をさらりと書いていますが,早い話が観測値と理論値のズレの大きさはいくらになるのか,を求めることになります.最終的には「49.25」というズレ値が算出されました.

さて,この「49.25」というズレ値が許容範囲かどうかの判定をするのですが,ここで,χ2分布という確率分布を使うことになります.詳細は統計学教科書を参考してもらうとして,χ2分布を使うと,○○というズレ値が(ある条件では)どのぐらい珍しいことなのか,という「珍しさの確率」を教えてくれます.
かりに「有意水準1%=1%よりも小さい確率で発生することはすごく珍しいと考える(許容範囲と考えられない)」とすれば,「珍しさ確率」が1%以内であれば「許容範囲ではない」と判断します.

以上,長々と書きました.今までの説明を読めばわかるように,χ2検定とはある理論値を想定した時,実際の観測値がその理論値とほぼ一致しているかどうかを調べるための統計解析法のことです.

χ2検定では,理論値をどのように設定するかは分析者の自由です.その設定の仕方で,χ2検定は「適合度の検定」や「独立性の検定」など異なる名称が付与されますが,本質は同じなのです.

質問者さんの場合は

> 「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、

これを理論値としてうまく設定することが鍵となるでしょう.

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布...続きを読む

Q±4σに入る確率について教えてください

ウィキペディアの検索より、
確率変数XがN( μ, σ2)に従う時、平均 μ からのずれがσ以下の範囲にXが含まれる確率は68.26%、2σ以下だと95.44%、さらに3σだと99.74%となる。
と分かりました。

そこで
4σ、


の場合確率はどうなるか教えてください。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Excel で NORMDIST を使い、平均 50、標準偏差 10 (いわゆる偏差値)で計算してみましたら、次のようになりました。

 σ 0.682689492137086
2σ 0.954499736103641
3σ 0.997300203936740
4σ 0.999936657516326
5σ 0.999999426696856
6σ 0.999999998026825
7σ 0.999999999997440
8σ 0.999999999999999
9σ 1.000000000000000

Excelの関数の精度がどの程度のものか分かりませんが、9σで100%になりました。

Q統計学的に信頼できるサンプル数って?

統計の「と」の字も理解していない者ですが、
よく「統計学的に信頼できるサンプル数」っていいますよね。

あれって「この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる」という決まりがあるものなのでしょうか?
また、その標本数はどのように算定され、どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断できるのでしょうか?
たとえば、99人の専門家が信頼できると言い、1人がまだこの数では信頼できないと言った場合は信頼できるサンプル数と言えるのでしょうか?

わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
 調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
 何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要なサンプル数は、比べる検定手法により計算できるものもあります。
 最低限必要なサンプル数ということでは、例えば、ある集団から、ある条件で抽出したサンプルと、条件付けをしないで抽出したサンプル(比べるための基準となるサンプル)を比較するときに、そのサンプルの分布が正規分布(正規分布解説:身長を5cmきざみでグループ分けし、低いグループから順に並べたときに、日本人男子の身長なら170cm前後のグループの人数が最も多く、それよりも高い人のグループと低い人のグループの人数は、170cmのグループから離れるほど人数が減ってくるような集団の分布様式)でない分布形態で、しかし分布の形は双方とも同じような場合「Wilcoxon符号順位検定」という検定手法で検定することができますが、この検定手法は、サンプルデータに同じ値を含まずに最低6つのサンプル数が必要になります。それ以下では、いくらデータに差があるように見えても検定で差を検出できません。
 また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、A国とB国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「t検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

 具体的に例示してみましょう。
 ある集団からランダムに集めたデータが15,12,18,12,22,13,21,12,17,15,19、もう一方のデータが22,21,25,24,24,18,18,26,21,27,25としましょう。一見すると後者のほうが値が大きく、前者と差があるように見えます。そこで、差を検定するために、t検定を行います。結果として計算上差があり、前者と後者は計算上差がないのにあると間違えて判断する可能性の許容値(有意確率)何%の確率で差があるといえます。常識的に考えても、これだけのサンプル数で差があると計算されたのだから、差があると判断しても差し支えないだろうと判断できます。
 ちなみにこの場合の差が出るための必要サンプル数は、有意確率5%、検出力0.8とした場合に5.7299、つまりそれぞれの集団で6つ以上サンプルを集めれば、差を出せるのです。一方、サンプルが、15,12,18,12,21,20,21,25,24,19の集団と、22,21125,24,24,15,12,18,12,22の集団ではどうでしょう。有意確率5%で差があるとはいえない結果になります。この場合に、このサンプルの分布様式で拾い出して差を出すために必要なサンプル数は551.33となり、552個もサンプルを抽出しないと差が出ないことになります。この計算上の必要サンプル数がこのくらい調査しないといけないものならば、必要サンプル数以上のサンプルを集めて調べなければなりませんし、これだけの数を集める必要がない、もしくは集めることが困難な場合は差があるとはいえないという判断をすることになるかと思います。

 一方、支持率調査や視聴率調査などの場合、比べるべき基準の対象がありません。その場合は、サンプル数が少ないレベルで予備調査を行い、さらにもう少しサンプル数を増やして予備調査を行いを何回か繰り返し、それぞれの調査でサンプルの分布形やその他検討するべき指数を計算し、これ以上集計をとってもデータのばらつきや変化が許容範囲(小数点何桁レベルの誤差)に納まるようなサンプル数を算出していると考えます。テレビ視聴率調査は関東では300件のサンプル数程度と聞いていますが、調査会社ではサンプルのとり方がなるべく関東在住の家庭構成と年齢層、性別などの割合が同じになるように、また、サンプルをとる地域の人口分布が同じ割合になるようにサンプル抽出条件を整えた上で、ランダムに抽出しているため、数千万人いる関東の本当の視聴率を割合反映して出しているそうです。これはすでに必要サンプル数の割り出し方がノウハウとして知られていますが、未知の調査項目では必要サンプル数を導き出すためには試行錯誤で適切と判断できる数をひたすら調査するしかないかと思います。

> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
 例えば、工場で作られるネジの直径などは、まったくばらつきなくぴったり想定した直径のネジを作ることはきわめて困難です。多少の大きさのばらつきが生じてしまいます。1mm違っても規格外品となります。工場では企画外品をなるべく出さないように、統計を取って、ネジの直径のばらつき具合を調べ、製造工程をチェックして、不良品の出る確率を下げようとします。しかし、製品をすべて調べるわけにはいきません。そこで、調べるのに最低限必要なサンプル数を調査と計算を重ねてチェックしていきます。
 一方、農場で生産されたネギの直径は、1mmくらいの差ならほぼ同じロットとして扱われます。また、農産物は年や品種の違いにより生育に差が出やすく、そもそも規格はネジに比べて相当ばらつき具合の許容範囲が広くなっています。ネジに対してネギのような検査を行っていたのでは信頼性が損なわれます。
 そもそも、統計学的検定は客観的判断基準の一指針ではあっても絶対的な評価になりません。あくまでも最終的に判断するのは人間であって、それも、サンプルの質や検証する精度によって、必要サンプルは変わるのです。

 あと、お礼の欄にあった専門家:統計学者とありましたが、統計学者が指摘できるのはあくまでもそのサンプルに対して適切な検定を使って正しい計算を行ったかだけで、たとえ適切な検定手法で導き出された結果であっても、それが妥当か否か判断することは難しいと思います。そのサンプルが、何を示し、何を解き明かし、何に利用されるかで信頼度は変化するからです。
 ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20~30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低6~8のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
 調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
 何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要な...続きを読む


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