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みなさん、こんにちわ。
楕円についてプログラムしないといけなく、わからない点が多いので質問させてください。
ある6点(座標はxyz)からxyz楕円の最小二乗法をプログラムすることは可能でしょうか?この掲示板の「楕円のプログラム」を参考にするとある5点以上の測定点からxy座標(2次元)のグラフにすることは可能であると書いてあり、納得しました。
分からない点はxyzの楕円の基本方程式です。
なお、使用する環境はc言語です。参考になるサイトなどありましたら教えてください。

A 回答 (2件)

ちょっと訂正&補足です.




> 合計8自由度ですから,8点以上ないと決定できないと思います (いまいち自信不足).

直観的に考えてみると,5点以上あれば決定できるはずですね.m(_ _)m
ただし,この5点は同一平面上にないといけませんが.
そのことが自由度にどう影響しているのか,
また「3次元空間内の平面図形」ということがどう影響しているのか,
別途考え直してみます.

自由度 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1% …


3次元空間内の楕円に直接最小自乗法を適用すると,計算がとても大変そうなので,
次のようにした方がよいかもしれません.

(1) 与えられた点から,楕円が存在する平面を最小自乗法で決定する.
(2) 与えられた点の座標を上記の平面の座標に変換する.
(3) 平面座標から最小自乗法で楕円を決定する.
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xyzということは3次元ですか?


それじゃ楕円ではなくて楕円体ですね.
それとも3次元空間内での楕円ということでしょうか?
多分後者だと思いますので,その前提で書きます.


> この掲示板の「楕円のプログラム」を参考にするとある5点以上の測定点から
> xy座標(2次元)のグラフにすることは可能であると書いてあり、納得しました。

2次元では,楕円の自由度は次のようになります.

中心座標:2
長軸の長さ:1
短軸の長さ:1
長軸の方向 (X軸に対する角度):1

合計5自由度ですから,5点以上あれば楕円を決定することができます.

3次元での楕円の自由度は次のようになります.

中心座標:3
長軸の長さ:1
短軸の長さ:1
長軸の方向:2
長軸まわりの回転角:1
(あるいは最後の2つをまとめて,3次元での回転=3自由度としてもよい)

合計8自由度ですから,8点以上ないと決定できないと思います (いまいち自信不足).


> 分からない点はxyzの楕円の基本方程式です。

普通の楕円の方程式は探せばいくらでもあると思いますが,
3次元内での楕円の方程式はちょっとなさそうですね.

まず,楕円を含む平面をUV平面とし,それに垂直なW軸を考えます.
楕円の中心をUV平面の原点,長軸,短軸方向をU軸,V軸方向とし,
それぞれの長さを 2 * a,2 * b とすると,

(u/a)^2 + (v/b)^2 = 1.
w = 0.

UVW系とXYZ系の原点が一致している (つまり楕円の原点のXYZ座標が (0, 0, 0))
の場合には,XYZ座標をUVW座標に変換する回転行列をRとすると,

U = R X (ただし U=(u, v, w),X=(x, y, z)).

楕円の原点が X0=(x0, y0, z0) にある場合は,

U = R (X - X0).

Rは3×3の行列だが,これを2×3の行列Ruv (XYZをUVに変換する) と,
1×3の行列Rw (XYZをWに変換する) に分けて,

R = (
Ruv
Rw
)

とすると,

(u, v) = Ruv (X - X0),
w = Rw (X - X0).

また

A = (
1/(a^2), 0
0, 1/(b^2)
)

とすると,楕円の方程式は
t(u, v) A (u, v) = 1.(t は転置)
これに (u, v) = Ruv (X - X0) を代入して
t(X - X0) tRuv A Ruv (X - X0) = 1 … (1)
w = Rw (X - X0) = 0 … (2)

(1),(2) が楕円の方程式になります.



> 最小二乗法をプログラムすることは可能でしょうか?

最小二乗法だと,何を誤差とするかによりますね.
素直に考えれば,点と楕円の (最短) 距離だと思いますが,
かなり面倒な式になりそうですね.




楕円 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86

Ellipsoid (楕円体,Wikipedia (英語))
http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid

二次曲面 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1% …
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