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リスク中立確率と裁定ポートフォリオを先日習ったのですが
私が理解力に乏しいため分かりませんでした。
また、そのため出された問題ですら解くことが出来ない状態です。

お聞きしたいのはリスク中立確率と裁定ポートフォリオとは
どのようなものか、そして問題の回答手順です。
お教え頂ければ幸いです。

(問題)
次の金融市場モデルにおいて、リスク中立確率は存在するか?
存在するは愛はリスク中立確率を求めて、存在しない場合は
裁定ポートフォリオを組め。
(1) a=0.1 , b=0.3 , r=0.2
(2) a=0.1 , b=0.2 , r=-0.1

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A 回答 (2件)

(1) a=0.1 , b=0.3 , r=0.2


(2) a=0.1 , b=0.2 , r=-0.1
↑の部分がどういう風に記号が割り振られているのか少々分かりませんでした。そもそもポートフォリオの問題を解いた事が無いので解ける自信もありません。

ただポートフォリオのおおよその考え方だけは説明する事が出来ます。
株というのは基本的に持っていれば上がるものです。しかし思わぬアクシデントで大損をするリスクもあるわけです。そこでポートフォリオとは、リスクを分散相殺する事によって確実に儲かるようにしようという考え方です。

例えばタクシー会社の株を買うとします。
すると原油が安い時は上がり、高い時には下がるわけです。
こうやって保有している株価が安定していないとたいていの人は投資を尻込みします。
例えば、自分の全財産が1/2の確率で2倍になるけれど、1/2の確率で全て失うという賭けができる人はそういないと思います。
これが8割で2倍、2割が0でも賭けられる人はなかなか居ないと思います。しかし確実に1割儲かるなら誰だって賭けを受けるでしょう。
同じように資産運用でも安定が重要なわけです。

ではどうしたらよいでしょうか?答えは簡単です。持っているの株と反対の値動きをする別の株を保有しておけば良いのです。
例えば、タクシー会社の株と石油会社の株を同時に保有しておけば、原油が下がった時はタクシー会社の株が上がり、原油が上がった時は石油会社の株が上がるので、もう一つの株価の値動きを相殺してくれるわけです。保険のようなものですね。

NYではこの80年で株価というのは数百倍だか数千倍に膨れたそうです(インフレ分差し引いて)。急激な値上がりではなく、むしろ日経平均の上昇分だけの利回りを上げられれば良いんだという考え方ですね。
(まあプロなら日経平均よりどれだけ高い利回りを上げられるかが勝負なのでしょうが…)

勿論『株』全体が下がるリスクもあるわけで、そういうリスクを避ける為に、投資家は債権や現物(金や石油や大豆)などにも投資をしてリスクを分散相殺させるわけです。

この回答への補足

(修正)
存在するは愛はリスク中立確率を求めて
→存在する場合はリスク中立確率を求めて

rは安全債権の利子、a・bは株式の利益かと思われます。
なにぶん初めてなものなので説明足らずで大変申し訳ありません。

補足日時:2006/11/21 00:31
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この回答へのお礼

なるほど・・・大変詳しい回答ありがとう御座います。
とてもよく理解できました。

お礼日時:2006/11/21 00:31

問題の認識が正しいかどうかも分からず、知ってる知識で適当に答えるので参考程度でよろしくお願いします。


(1) a=0.1 , b=0.3 , r=0.2
(2) a=0.1 , b=0.2 , r=-0.1
は(1)(2)という2つの可能性があるという問題だとして解きます。
解法は期待利得を使ってみます。
しかしまあどの場合もbが最も儲かるのが分かっていたらポートフォリオは成立するのか定かではありませんが・・・。

(1)になる可能性をP、(2)になる可能性を1-Pとします。(0≦P≦1)
次にaに投資する額をA、bに投資する額をB、rに投資する額をRとします。
投資額の合計をEとするとE=A+B+R。

すると期待利得EPは
EP=Px(0.1A+0.3B+0.2R)+(1-P)x(0.1A+0.2B-0.1R)
=0.1x(A+(3-P)B+(3P-1)R) 
となるのではないでしょうか?
この場合どこをどう見てもBだけを購入することが、いかなる場合も利得が最大化する方法なのでポートフォリオの問題になっていません。
ですので何かしらの見落としや誤解がある可能性が高いです。

正式な答が分かったら、教えていただけると嬉しいです。

この回答への補足

(1)と(2)は問1と問2と言うことです。
言葉足らずで真に申し訳ありません。

補足日時:2006/11/22 09:28
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    • 0
この回答へのお礼

行列が上手く表示出来ませんがご了承ください。以下回答になります。
qはリスク中立確率、Xは裁定ポートフォリオ、rは安全債権の利子、a・bは株式の利益かと思われます。

(1)この金融市場において、a < r < b なのでリスク中立確立が存在する。
R=(1+r 1+b) = (1.2 1.3) , q = (q ) とおくと、
  (1+r 1+a)   (1.2 1.1)      (1-q)

'Rq = (1+r)(1)を満たすので
        (1)

(1.2 1.3)(q ) = (1.2)
(1.2 1.1)(1-q)   (1.2)

第一行は1.2 = 1.2となり自明。
第二行は1.3q + 1.1(1-q) = 1.2 よってq = 1/2

ここで0 < q = 1/2 < 1を満たす。

よってリスク中立確率q = (1/2)である。
                  (1/2)

(2)この金融市場においてr < a < bとなるので、リスク中立確率は存在しない。つまり裁定ポートフォリオが存在する。

まずR=(1+r 1+b) = (0.9 1.2)となる。
     (1+r 1+a)   (0.9 1.1)

ここでX=(X1) = (-1)とおくと、
      (X2)   (1 )

X1 + X2 = 0となり条件を満たす。

y = Rx = (0.9 1.2) = (-1) = (0.3) = (y1) = y
        (0.9 1.1)    (1 )    (0.2)    (y2)

y1 > 0かつy2 > 0なので条件を満たす。

よって求める裁定ポートフォリオはX = (X1) = (-1)
                          (X2)    ( 1)

お礼日時:2006/11/22 10:10

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Qスポットレートと利付国債の債券価格についてです。。

初利用です。

数学をまったくやってこなかった自分が、今訳があって国債の勉強をしています。
まったく数学に触れてこなかったためか、公式や定理は根本から意味を理解しないと背中が痒くて我慢できません・・
中学高校のときは公式を理解なしにまるまる覚えて使っていたんですけどね。。


今回、スポットレートと債券価格についての求め方が、理解できず困っています。
例を先にあげますと、



一年物スポットレート=6%
二年物        =7%
三年物        =8%

このとき、満期までの期間が3年、クーポンレート5%、額面100円の利付債の債券価格は

5/1+0.06
+
5/(1+0.07)^2
+
105/(1+0.08)^3
=92.436円となる

分からないところが多々あります。

(1)スポットレートは割引債の話。それを利付債の価格計算に使うということは、割引債の利回りを見て利付債の価格を決めるということですか?

(2)数式がどうしてこのようになるのかがわかりません。
 なぜ年数が上がると、^2,^3となっていくのですか?
 割引債は満期に一回のみ利回りが手に入り、
 利付債は年数分利回りが手に入るのではないのですか?
 なぜ分母側が二重三重になっていっているのですか?


ごめんなさい原始人みたいで。。
数学ほんと苦手です。。

この分野に理解があり、解説する時間がある方どうかかまってください。

補足ですが、国債の仕組みも十分理解していません。
指摘があれば勉強し直し補足欄に書き直しますのでよろしくおねがいします。

初利用です。

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まったく数学に触れてこなかったためか、公式や定理は根本から意味を理解しないと背中が痒くて我慢できません・・
中学高校のときは公式を理解なしにまるまる覚えて使っていたんですけどね。。


今回、スポットレートと債券価格についての求め方が、理解できず困っています。
例を先にあげますと、



一年物スポットレート=6%
二年物        =7%
三年物        =8%

このとき、満期までの期間...続きを読む

Aベストアンサー

>(1)スポットレートは割引債の話。
>それを利付債の価格計算に使うということは、割引債の利回りを見て利付債の価格を決めるということですか?

そういうことです。


>(2)数式がどうしてこのようになるのかがわかりません。
> なぜ年数が上がると、^2,^3となっていくのですか?
> 割引債は満期に一回のみ利回りが手に入り、
> 利付債は年数分利回りが手に入るのではないのですか?
> なぜ分母側が二重三重になっていっているのですか?

それはお金が複利で増えていくからです。
以下に示すとおり、複利で増える年数回だけ割る必要があるのです。

増える割合、すなわち利率は、購入時から1年後までは6%、購入時から2年後までの平均は7%、同じく購入時から3年後までの平均が8%ということです。
購入時から1年後までの1年物のスポットレートが6%であるのは分りますよね。
1年後から2年後までの1年間の利率(これをフォワードレートと呼ぶ)は何%か分りませんが、購入時から2年後までの平均的な利率は年7%になるのでしょう。
逆算すると、そのフォワードレートは、約8.01%となります。
2年後から3年後までの1年間のフォワードレートも何%か分りませんが、購入時から2年後までの平均的な利率は年8%になるのでしょう。
逆算すると、そのフォワードレートは、約10.03%となります。

ご提示の問題は92,436円支払って購入した国債が、一年後と二年後に5円だけ利息が支払われ、3年後の満期にも5円の利息が支払われ、さらに償還額の100円が返ってくるわけですね。
これは92,436円が三つの部分に分けれ、それぞれが一年後、二年後、三年後に複利で増えて返ってくると考えます。
仮にその三つの部分をa、b、cとします。
92,436円=a+b+cということです。
a、b、cは最初の1年で6%増え、それぞれ元利合計で(1+6%)×a、(1+6%)×b、(1+6%)×cになります。
※元利合計が(1+6%)×で表されるのは分りますか?

そのうちの(1+6%)×aが1年後に受取る5円であると考えます。
そう考えると、(1+6%)×a=5ですから、逆算して、a=5÷(1+6%)となります。

残された(1+6%)×bと、(1+6%)×cは、それぞれ次の1年で8.01%増え、元利合計で(1+6%)×(1+8.01%)×b、(1+6%)×(1+8.01%)×cになります。
そのうちの(1+6%)×(1+8.01%)×bが2年後に受取る5円であると考えます。
そう考えると、b=5÷(1+6%)÷(1+8.01%)となります。

残された(1+6%)×(1+8.01%)×cは、次の1年で10.03%増え、元利合計で(1+6%)×(1+8.01%)×(1+10.03%)×cになります。
それが3年後に受取る105円であると考えます。
そう考えると、c=105÷(1+6%)÷(1+8.01%)÷(1+10.03%)となります。

前に書いたとおり、92,436円=a+b+cですから、92,436円=5÷(1+6%) + 5÷(1+6%)÷(1+8.01%) + 105÷(1+6%)÷(1+8.01%)÷(1+10.03%)
となります。

ここの÷(1+6%)÷(1+8.01%)を計算すると、÷(1+7%)^2と等しく、÷(1+6%)÷(1+8.01%)÷(1+10.03%)を計算すると、÷(1+8%)^3と等しくなります。
というか、そうなるように求めたフォワードレートが8.01%と10.03%です。

将来受取る
1年後の5円
2年後の5円
3年後の105円
は将来価値と呼ばれます。一方、
5÷(1+6%)
5÷(1+7%)^2
105÷(1+8%)^3
は、それらの現在価値と呼ばれます。
債券の価格は将来のキャッシュフローの現在価値の合算ということです。
それぞれのキャッシュフローを別個の割引債と考えると、割引債の合算が利付債であると考えられます。
実際に利付債のクーポンと本体をバラして販売するストリップス債と呼ばれるものもあります。

なお実際の国債では、クーポンは半年毎に半分ずつ支払われます。
そうすると上のような計算はもっと複雑になります。

あとレートの平均を求めるときは、全部足して、個数で割る普通の平均(算術平均)ではなく、全部かけて、個数のべき乗根を求める幾何平均と呼ばれる方法を用います。

>(1)スポットレートは割引債の話。
>それを利付債の価格計算に使うということは、割引債の利回りを見て利付債の価格を決めるということですか?

そういうことです。


>(2)数式がどうしてこのようになるのかがわかりません。
> なぜ年数が上がると、^2,^3となっていくのですか?
> 割引債は満期に一回のみ利回りが手に入り、
> 利付債は年数分利回りが手に入るのではないのですか?
> なぜ分母側が二重三重になっていっているのですか?

それはお金が複利で増えていくからです。
以下に示すとおり、...続きを読む


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