Arctan(x/y)を第1象限の四半球(半径a)上(集合Kとする)において積分したいのですが、答えまでたどり着きません。
分かる方、教えてください。
以下、途中まで計算してみたところです。
間違ったところがあればあわせて教えていただければ幸いです。
広義積分と考えて解く。
Arctan(x/y)はK上正なので、Kに収束するある集合列{Km}について極限を求める。
Km={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦a^2,x≧1/m,y≧1/m}とする。
∬Arctan(x/y)dxdy
=∫(1/m~√(a^2-(1/m)^2))dy∫(1/m~√(a^2-y^2)) Arctan(x/y)dx
dxの部分を積分すると(以下明らかな部分は区間省略)
∫Arctan(x/y)dx
=[xArctan(x/y)-(1/2)log(1+(x/y)^2)]
=√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)-(1/2)log(a^2/y^2)-(1/m)Arctan(1/(my))-(1/2)log(1+1/(my)^2)
この結果を1つずつyで積分する。
(1)∫√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)dy
(2)∫-(1/2)log(a^2/y^2)dy
(3)∫-(1/m)Arctan(1/(my))dy
(4)∫-(1/2)log(1+1/(my)^2)dy
(2)=-∫log(a/y)dy
=∫(logy-loga)dy
=[ylogy-y-yloga]
=略
(3)=-(1/m)∫Arctan(1/(my))dy
=-(1/m)∫(π/2-Arctan(my))dy
=[-(π/2m)y+myArctan(my)-(1/2m)log(1+(my)^2)]
=略
(1)と(4)はまったく分かりません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>Km={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦a^2,x≧1/m,y≧1/m}とする。
x=0の所でも被積分関数は普通に定義されているので、x=0の部分を除外する必要はないのでは?
(1)に関しては、y=acosθとかで置換すれば計算できると思います。
(4)に関しては、具体的に積分が計算できるかどうかは分かりませんが、m→∞の極限でゼロになることが示せます。(というか、最初から0≦x≦√(a^2-y^2)の範囲で積分しておけば、(3),(4)の項は出てこなかった)
でも、極座標に直してから積分した方が遥かに楽でしょう。(普通の極座標よりも、x=rsinθ,y=rcosθとした方がちょっとだけ楽?)
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