位相空間

Question

分からない問題があります！教えてください！

１次元ユークリッド空間Ｒ^1の上の関係
　Ｒ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}
について以下を示せ（Ｚは整数全体）
(1)Ｒは同値関係である。
(2)商空間Ｒ^1/Ｒはコンパクトである。
(3)商空間Ｒ^1/Ｒはハウスドルフである。
(4)商空間Ｒ^1/Ｒは弧状連結である。

どなたかよろしくおねがいします！

ddtddtddt · Accepted Answer

まず出題者の気持ちはわかりますが、記号がひどいと言えば、ひどいです。Ｒが3重の意味に使われてます。
　　　Ｗ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}⊂Ｒ^2
とでも書くべきだと思います。
　色んな方が、イメージ豊かに応えてらっしゃるので、ここはもう少し即物的（集合論っぽく）いってみます。講義では、こんな具合ではないかと思いますので・・・。

(a)Ｒは同値関係である。
　これは、Ｗで定義される関係Ｐは同値関係であることを示せ、です。しばらくＷのことはほっときましょう。Ｐとはx，yを実数として「差が整数である」という関係、ただそれだけです。よって、「x－yが整数になる」ことに、反射性，対称性，推移性を示せばいいだけです。

(b)商空間Ｒ^1/Ｒ
　さっき言ったことから、これは商空間Ｒ^1/Ｐと書くべきです。「x－yが整数になる」xとyを数直線上に、次々とプロットしていけば、値がとびとびの点がならびます。例えばxから始めるとすれば、このようにして得られるＲの部分集合をＣ(x)と書きます。なんでＣ(x)のxかといえば、反射性，対称性，推移性より、y，z∈Ｃ(x)であれば、Ｃ(x)＝Ｃ(y)＝Ｃ(z)となるので、代表してＣ(x)と書いてるだけです。
　次に、xを数直線上で移動させて考えると、各Ｃ(x)は、Ｒを交わりのない部分集合に分類します。この分類を、類別といい、各部分集合Ｃ(x)をＰによる同値類と名づけるだけです。
　とこらがさらに、Ｃ(x)を全部集めた集合の集合を考えよ、というのが今の教育方針です。そっちのほうがわかり易いだろうと（ホントかいな？）。この、Ｃ(x)を全部集めた集合の集合が、商空間Ｒ^1/Ｐ（Ｒ^1/Ｒ）の正体です。

(c)用語の流用
　ところが今の教育方針では、関係すらも集合で扱うことになっています（正しい態度ではありますが）。そこで取ってつけたように、
　　　Ｗ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}⊂Ｒ^2
が現れるわけです。なので単にこれは、用語の定義とみなしてかまいません。そして、関係Ｐは集合Ｗで定義できるので、用語を流用して、Ｒ^1/ＰをＲ^1/Ｗと書くこともあります。ところがＲが3重の意味に使われているので、非常にわかりにくくなったわけです。

(d)標準全射
　以上の舞台装置の上に、今風のやり方では、関数（写像）φ(x)＝Ｃ(x)を考えます。ここで、x∈Ｒ，Ｃ(x)∈Ｒ^1/Ｐです。このφが連続全射であることはすぐにわかり、標準全射とか包含写像とか呼ばれます。

(e)コンパクト，ハウスドルフ，弧状連結
　上記のφの連続性から、Ｃ(x)⊂Ｒと考えたＣ(x)のコンパクト性，Ｒの分離性（ハウスドルフ），Ｒの連結性が、全射だからＲ^1/Ｐ全体にうまく伝わる。なんかこんな方向だったと思います。

ojisan7 · Answer

講義ノートを読み返せば、ほとんど、明らかな問題ではないではないでしょうか。ご質問を見ると、「関係」を、集合Ｒ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}で定義しているようです。分かりやすく言えば、xRy⇔(x,y)∈Rということですよね。この「関係」Rが同値関係であることは明らかです。商空間Ｒ^1/Ｒは区間(0,1]ですから、円周と同相になります。これは有界閉集合ですから、コンパクトであることは明らかです。(3),(4)も明らかです。これらは、基本問題ですから、参考書やノートを良く読み返して、ご自分で考えることが大切です。頑張って下さいね。

zk43 · Answer

再び

抑えつけるという意味がよくわからないのですが、点列が集積点を
もつとか、任意の被覆から有限被覆が選べるとかということですか。
（確か、どっちでも同じことだったと思う）

商空間R^1/Rが円周S^1に同相で、S^1がコンパクトというのでは
だめでしょうか。S^1がコンパクトであることをいうのは、S^1を
平面R^2に埋め込んで、R^2の有界閉集合だからコンパクトというのは
正確でないのかな？（ハイネ・ボレルの定理より）

あるいは、ちゃんと任意の無限点列があったとして、これから、収束
する部分列をとれるということを、ボルツァノ・ワイエルシュトラス
の定理（だったかな？）と同じように示すのか・・・

正確な証明は本を当たったほうが・・・この辺でご容赦を。

zk43 · Answer

偶数＋偶数＝偶数、偶数＋奇数＝奇数などという場合、
０，２，４、・・・とか１，３，５、・・とかを同一視
しているようなイメージでしょうか？
代数でZ/nZのなかでの演算などはやりましたでしょうか。
余りが同じものを同一視しているのと同じと思います。

集合Xを同値関係～で同値分類した商集合X/～では、各同値類
から代表元を１つとって考えることができます。

関係Rで、x-y∈Zということは、x=1.1とy=2.1とか、x=0.2とy=5.2
とか、差が整数なのを同一視しているということで、
・・・,x－3,x－2,x－1,x,x＋1,x＋2,x＋3,・・・
をすべて同一視しているのです。
xが１だけずれても同じ集合になるので、代表元を考えて、
[0,1)だけを考えても良いことになります。
（別に区間の長さが１ならばどこでも良いです）
0と1はRという関係にあるので、0と1を同一視して（0と1をくっつけ
て）、R^1/Rは円周S^1と同相と考えられます。

図形的なイメージでは、螺旋階段があって、階段にいる人と、地上でそ
の人の影（真上からの）だけを見ている人がいるとします。
影を見ている人は、階段にいる人が何階にいるかは分からず、１回転の
うちの位置がわかるのみです。関係Rは階数を問題にせず、１回転のう
ちの位置のみを問題にしていると考えることができます。
つまり、関係Rは、螺旋を平面上に投射するというイメージであると思
います。位相なので、別にR^1を真っすぐな直線と考えている必要はな
く、曲げて考えても良いと思います。

koko_u_ · Answer

R^1 の 2点 x, y に「関係がある」かどうかを数学的に定義すると R^1 × R^1 の部分集合 R に「含まれるか」かどうかになります。

つまりこの問題では x と y の差が整数である場合に x と y は「関係がある」として話が進んでいます。
んで、「関係がある」点を「同一視」した集合が R^1/R

zk43 · Answer

同値関係の同値律、反射律、推移律とか、同値分類とかはご存じですか。
これが怪しい場合は、一旦集合の教科書を復習したほうがよいかも。
Rは二つの実数x,yの差が整数のときはx,yを同一視するということでは
ないですか。
ということは、R^1を円周の長さが１の円周上にぐるぐる巻き付ける
ということで、商空間は円周S^1に同相ではないでしょうか。
証明を逐一書くのは面倒ですが、コンパクト、ハウスドルフ、弧状連結
なのは、見える感じがします。

koko_u_ · Answer

(1)すら分からないのであれば、先行きは暗いなぁ。

位相空間

まず出題者の気持ちはわかりますが、記号がひどいと言えば、ひどいです。

講義ノートを読み返せば、ほとんど、明らかな問題ではないではないでしょうか。

再び

偶数＋偶数＝偶数、偶数＋奇数＝奇数などという場合、

R^1 の 2点 x, y に「関係がある」かどうかを数学的に定義すると R^1 × R^1 の部分集合 R に「含まれるか」かどうかになります。

同値関係の同値律、反射律、推移律とか、同値分類とかはご存じですか。

(1)すら分からないのであれば、先行きは暗いなぁ。

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