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分からない問題があります!教えてください!

1次元ユークリッド空間R^1の上の関係
 R={(x,y)∈R^1×R^1|x-y∈Z}
について以下を示せ(Zは整数全体)
(1)Rは同値関係である。
(2)商空間R^1/Rはコンパクトである。
(3)商空間R^1/Rはハウスドルフである。
(4)商空間R^1/Rは弧状連結である。

どなたかよろしくおねがいします!

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A 回答 (7件)

 まず出題者の気持ちはわかりますが、記号がひどいと言えば、ひどいです。

Rが3重の意味に使われてます。
   W={(x,y)∈R^1×R^1|x-y∈Z}⊂R^2
とでも書くべきだと思います。
 色んな方が、イメージ豊かに応えてらっしゃるので、ここはもう少し即物的(集合論っぽく)いってみます。講義では、こんな具合ではないかと思いますので・・・。

(a)Rは同値関係である。
 これは、Wで定義される関係Pは同値関係であることを示せ、です。しばらくWのことはほっときましょう。Pとはx,yを実数として「差が整数である」という関係、ただそれだけです。よって、「x-yが整数になる」ことに、反射性,対称性,推移性を示せばいいだけです。

(b)商空間R^1/R
 さっき言ったことから、これは商空間R^1/Pと書くべきです。「x-yが整数になる」xとyを数直線上に、次々とプロットしていけば、値がとびとびの点がならびます。例えばxから始めるとすれば、このようにして得られるRの部分集合をC(x)と書きます。なんでC(x)のxかといえば、反射性,対称性,推移性より、y,z∈C(x)であれば、C(x)=C(y)=C(z)となるので、代表してC(x)と書いてるだけです。
 次に、xを数直線上で移動させて考えると、各C(x)は、Rを交わりのない部分集合に分類します。この分類を、類別といい、各部分集合C(x)をPによる同値類と名づけるだけです。
 とこらがさらに、C(x)を全部集めた集合の集合を考えよ、というのが今の教育方針です。そっちのほうがわかり易いだろうと(ホントかいな?)。この、C(x)を全部集めた集合の集合が、商空間R^1/P(R^1/R)の正体です。

(c)用語の流用
 ところが今の教育方針では、関係すらも集合で扱うことになっています(正しい態度ではありますが)。そこで取ってつけたように、
   W={(x,y)∈R^1×R^1|x-y∈Z}⊂R^2
が現れるわけです。なので単にこれは、用語の定義とみなしてかまいません。そして、関係Pは集合Wで定義できるので、用語を流用して、R^1/PをR^1/Wと書くこともあります。ところがRが3重の意味に使われているので、非常にわかりにくくなったわけです。

(d)標準全射
 以上の舞台装置の上に、今風のやり方では、関数(写像)φ(x)=C(x)を考えます。ここで、x∈R,C(x)∈R^1/Pです。このφが連続全射であることはすぐにわかり、標準全射とか包含写像とか呼ばれます。

(e)コンパクト,ハウスドルフ,弧状連結
 上記のφの連続性から、C(x)⊂Rと考えたC(x)のコンパクト性,Rの分離性(ハウスドルフ),Rの連結性が、全射だからR^1/P全体にうまく伝わる。なんかこんな方向だったと思います。
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この回答へのお礼

細かな解説ありがとうございます!
やっとRについて分かり、(1)の同値関係はわかりました!
後は残りの三つを考えてみたいと思います!

お礼日時:2007/02/13 20:20

講義ノートを読み返せば、ほとんど、明らかな問題ではないではないでしょうか。

ご質問を見ると、「関係」を、集合R={(x,y)∈R^1×R^1|x-y∈Z}で定義しているようです。分かりやすく言えば、xRy⇔(x,y)∈Rということですよね。この「関係」Rが同値関係であることは明らかです。商空間R^1/Rは区間(0,1]ですから、円周と同相になります。これは有界閉集合ですから、コンパクトであることは明らかです。(3),(4)も明らかです。これらは、基本問題ですから、参考書やノートを良く読み返して、ご自分で考えることが大切です。頑張って下さいね。
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この回答へのお礼

親切にありがとうございます。
講義で配られたプリントや教科書などを読み漁って考えていますが、
自分が全然わかっていなかったことを痛感しています。
しっかり読んで自分のものにしたいと思います。

お礼日時:2007/02/14 00:05

再び



抑えつけるという意味がよくわからないのですが、点列が集積点を
もつとか、任意の被覆から有限被覆が選べるとかということですか。
(確か、どっちでも同じことだったと思う)

商空間R^1/Rが円周S^1に同相で、S^1がコンパクトというのでは
だめでしょうか。S^1がコンパクトであることをいうのは、S^1を
平面R^2に埋め込んで、R^2の有界閉集合だからコンパクトというのは
正確でないのかな?(ハイネ・ボレルの定理より)

あるいは、ちゃんと任意の無限点列があったとして、これから、収束
する部分列をとれるということを、ボルツァノ・ワイエルシュトラス
の定理(だったかな?)と同じように示すのか・・・

正確な証明は本を当たったほうが・・・この辺でご容赦を。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。
コンパクトについても理解できました!後は残りの二つについて
考えてみたいと思います!勉強不足で申し訳ありませんでした。

お礼日時:2007/02/13 23:51

偶数+偶数=偶数、偶数+奇数=奇数などという場合、


0,2,4、・・・とか1,3,5、・・とかを同一視
しているようなイメージでしょうか?
代数でZ/nZのなかでの演算などはやりましたでしょうか。
余りが同じものを同一視しているのと同じと思います。

集合Xを同値関係~で同値分類した商集合X/~では、各同値類
から代表元を1つとって考えることができます。

関係Rで、x-y∈Zということは、x=1.1とy=2.1とか、x=0.2とy=5.2
とか、差が整数なのを同一視しているということで、
・・・,x-3,x-2,x-1,x,x+1,x+2,x+3,・・・
をすべて同一視しているのです。
xが1だけずれても同じ集合になるので、代表元を考えて、
[0,1)だけを考えても良いことになります。
(別に区間の長さが1ならばどこでも良いです)
0と1はRという関係にあるので、0と1を同一視して(0と1をくっつけ
て)、R^1/Rは円周S^1と同相と考えられます。

図形的なイメージでは、螺旋階段があって、階段にいる人と、地上でそ
の人の影(真上からの)だけを見ている人がいるとします。
影を見ている人は、階段にいる人が何階にいるかは分からず、1回転の
うちの位置がわかるのみです。関係Rは階数を問題にせず、1回転のう
ちの位置のみを問題にしていると考えることができます。
つまり、関係Rは、螺旋を平面上に投射するというイメージであると思
います。位相なので、別にR^1を真っすぐな直線と考えている必要はな
く、曲げて考えても良いと思います。
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この回答へのお礼

すごくイメージしやすくなりました!!ありがとうございます!
螺旋階段ですね☆
後はコンパクトのところが微妙で…
どうやって抑え付けたらいいのでしょうか?

お礼日時:2007/02/13 00:05

R^1 の 2点 x, y に「関係がある」かどうかを数学的に定義すると R^1 × R^1 の部分集合 R に「含まれるか」かどうかになります。



つまりこの問題では x と y の差が整数である場合に x と y は「関係がある」として話が進んでいます。
んで、「関係がある」点を「同一視」した集合が R^1/R
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この回答へのお礼

つまり…
(x,y)∈R^1×R^1なx,yはx-y∈Zとなるものであるってことでしょうか?
>「関係がある」点を「同一視」した集合が R^1/R
この部分がまだいまいちわかりません。同一視する、とはどういうことなんでしょうか?何度もすいません。

お礼日時:2007/02/12 15:04

同値関係の同値律、反射律、推移律とか、同値分類とかはご存じですか。


これが怪しい場合は、一旦集合の教科書を復習したほうがよいかも。
Rは二つの実数x,yの差が整数のときはx,yを同一視するということでは
ないですか。
ということは、R^1を円周の長さが1の円周上にぐるぐる巻き付ける
ということで、商空間は円周S^1に同相ではないでしょうか。
証明を逐一書くのは面倒ですが、コンパクト、ハウスドルフ、弧状連結
なのは、見える感じがします。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
大学で位相空間についてやっていますがどうにもわからんくて…
どうにもイメージがつかないで困っています。
集合の教科書を見てみようと思いますが、
>Rは二つの実数x,yの差が整数のときはx,yを同一視するということではないですか。

という部分がわかったようでたぶんわかっていません><;
Rについて理解できればあとはなんとかなりそうな気がするのですが…

お礼日時:2007/02/12 14:32

(1)すら分からないのであれば、先行きは暗いなぁ。

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この回答へのお礼

すいません、日本語的に少し分からなくて…
問題のRはどういうことなのでしょうか?
何を言っているかがいまいちイメージできません。教えていただけないでしょうか?

お礼日時:2007/02/12 14:06

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