級数の収束判定

今、無限級数の収束判定の問題を解いてるのですが、2問どうしても
解けない問題があり困ってます。

その問題は、
以下の無限級数が収束するか、発散するか調べよ。
1.　Σ｛n/(n+1)}^(n^2)
2.　Σ 1/{{ln n}^(ln n)}　

1.は明らかにコーシーの収束判定法を使う形に見えるのですが、
｜｛n/(n+1)}^(n^2)｜のn乗根は　１に収束してしまうので、コーシーは使えません。ダランベールの収束判定も考えたのですが、うまくいかないです。
2.これもコーシーの収束判定法を使うのかと思ったのですが、ln n 乗があるため、うまく計算できません。

上記の問題、どなたかアドバイスをいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/03/30 01:56

ちなみに:

対数をとればわかりますが
(log n)^(log n) = n^(log log n).

この回答へのお礼

回答ありがとございました。
No.1さんのお礼の欄に書いたようなことに気づくことができました。
参考になるアドバイスをありがとございます。

お礼日時：2007/03/30 04:15

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/03/30 01:09

１は、コーシーでいいと思いますが。

｜｛n/(n+1)}^(n^2)｜のn乗根の収束値は１ではありませんよ。高校で習うeの定義を思い出してください。

２は、コーシーの判定法では１に収束してしまいます。（n乗根をとってlogをとると０に収束する）
ですが。
log(n)^log(n) / n^2 → ∞
ってことが、左辺のlogをとればわかります。
Σ1/n^2 は、収束しますから、Σ1/log(n)^log(n) も収束することがわかります。

ちなみに、ダランベールの判定法はコーシーの判定法より弱いので、コーシーの判定法で１に収束して判定不能であれば、かならずダランベールでも１に収束（判定不能）となります。コーシーを試してみてだめだったらダランベールを試すていうのは無駄です。

この回答へのお礼

1は勘違いに気づきました。　1/eに収束するので、コーシーが使えますね。
２も
(log n)^(log n) = (e ^(log log n))^log n = (e^(log n))^(log log n)
= n^(log log n) < n^2
で解決できるようですね。
的確なアドバイスありがとうございました。

お礼日時：2007/03/30 04:15