過去のレートの変動率計算になぜ自然対数を使う？

統計の素人です。
例えば、ドルと円を交換する為替レートは毎日（毎瞬間）変動します。過去例えば５年分を振り返ると、毎日の変動率が計算できます。
データはウエブサイト（infoseekの為替欄に毎日の終値が出ています）。
普通は、今日の終値（例えば１１９円）÷昨日の終値（例えば１１８円）＝１００．８％と％表示ができます。これを過去５年分について、数百回繰り返します。昨日の終値÷一昨日の終値＝ｘｘｘ％という具合。
　そして、
この％自体の標準偏差を計算する場合と、
この％の自然対数LNの標準偏差を計算する場合があります。
後者の方が好ましいと言われる理由は何でしょうか？
計算結果が異なるのでしょうか？
また、標準偏差を年率に変換する時に、１年間の日数（ここでは週末や祝日を除いて２５０日と仮定します）をそのまま掛けずに√（２５０）を掛けてもいいのでしょうか？
因みに、
（１）為替レートという数字がゼロという値やマイナスという値をとることはありえません。
（２）また、１００円くらいにまでなってしまうと、相当抵抗力がでて１１０円方向に反発することが容易に想像できます。

No.3 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2007/04/13 12:26

#2です。

Excelのような表計算ソフトか統計ソフトをお使いなのでしょうか？
(標準偏差の計算の基礎を分かっておられないのに計算だけはされているようなので）

歪みに関しては対数をとって再計算してみても大して差が実感できないと思います。
少し、実験してみれば明らかです。Excelが使えるなら(あるいはグラフ表示ソフトでいいです)
次の入力をしてグラフを描いてみてください。それぞれで散布図を描けば違いが分かります。

そのままの例　　　　　対数をとった例

=1/5　　1　　　　　　　　=LN(1/5)　　1
=1/4　　2　　　　　　　　=LN(1/4)　　2
=1/3　　3　　　　　　　　=LN(1/3)　　3
=1/2　　4　　　　　　　　=LN(1/2)　　4
1　　　　5　　　　　　　　=LN(1)　　　　5
2　　　　4　　　　　　　　=LN(2)　　　　4
3　　　　3　　　　　　　　=LN(3)　　　　3
4　　　　2　　　　　　　　=LN(4)　　　　2
5　　　　1　　　　　　　　=LN(5)　　　　1

しかしこれは理論上の数字で実際の数字はもっと小さいと思います。
(一日で為替レートが1/5倍になることも5倍になることもないでしょう）

=1/1.02　　1　　　　　　　　=LN(1/1.02)　　1
=1/1.01　　2　　　　　　　　=LN(1.01)　　　2
1　　　　　　3　　　　　　　　=LN(1)　　　　　3
1.01　　　　2　　　　　　　　=LN(1.01)　　　2
1.02　　　　1　　　　　　　　=LN(1.02)　　　1

これなら対数をとらなくても左右対称に見えると思います。だから実際の数字で
処理するなら対数をとらなくてもそれほど影響がないと思われるのです。

次に標準偏差ですが、まず実際に計算する手順を書いてみます。
今、データが10個

4,2,5,7,4,6,5,6,3,8

平均は5でそれぞれの平均との差は

-1,-3,0,2,-1,1,0,1,-2,3

この2乗を足して(偏差平方和)

(-1)^2+(-3)^2+0^2+2^2+(-1)^2+1^2+0^2+1^2+(-2)^2+3^2=30

これを（データ数-1)で割って(分散)

30/(10-1)=10/3=3.333333

この平方根をとって

√3.333333=1.83

と計算します。だからわざわざ2乗するのではなくて、わざわざ平方根をとって
標準偏差にする前に分散を計算した時に250倍します。

では何故そのままかけてはいけないか説明してみます。

>平均値からどれくらい乖離しているかである

ある程度、当たっています。正規分布に乗っていると仮定できる数量の場合、
平均±(標準偏差)×2の範囲に95%の確率で入ります。例えば1キロ入りの
牛乳パックの実際に詰めたときの重量の標準偏差が10gだとすると95%の確率で
1000±20　の範囲に入ります。(標準偏差の倍の範囲)では10本集めて重さを量ったら
10000±200でしょうか？有り得ないのです。1000±20に95％が入るということは
1020gや980gぐらいになるのは20本に1本ぐらいです。10本集めて10200gになるには
10本とも1020gでなければなりません。確率としては1兆分の1ぐらいです。
実際は1000gを中心にバラけた重さが10個集まり、
10000±20√10=10000±63　程度になると予想されます。
これが標準偏差にそのまま個数や日数をかけてはいけない理由です。

この回答へのお礼

個々の標本の値の大きさ（たとえば１１９円）と、個々の値が変化する変化幅（たとえば６０銭）とを比べて、変化幅が小さい場合は、自然対数を使わない場合でも精度の上で問題なし。と理解しましょう。

標準偏差の部分は、
標準偏差が１０グラムで、９５％信頼区間なら、９５％相当が１．９５位なので、およそ２、つまり１０グラムに２を掛けて２０グラムプラスマイナスということでしょうか？
悪ふさげた返事するつもりはないのですが、牛乳が苦手で、もともとの質問が日数に関していたので、日数版の例を挙げていただいたら理解できそうです。

お礼日時：2007/04/14 15:39

No.2 回答者： age_momo 回答日時： 2007/04/11 07:11

基本的には#1さんと同意見なのですが、

まず、何らかの同一分布に従っている二つの変数(それぞれは正)の比を取ったとき、
1を中心にしてマイナスの方向は最大1しか変化しません。(質問者さんの前提でも
書かれていますが、-1以上変化するのは為替レートが0以下になることを意味します)
逆にプラス方向は理論上は∞です。明らかに歪んでしまいます。
一方、これの対数をとれば元の比が0<X<∞の時、-∞<lnX<∞　になり、歪みが
なくなります。そのため対数をとる方が好ましいのでしょう。
ただ、実際のデータを考えてみれば為替レートが0になることが有り得ないのと同様
1日で2倍になることもありえないと思います。5年間のデータでも比率を取ったとき、
最大でも精々1±0.05ぐらいしかないのではないでしょうか？
それぐらい小さければ上に書いたような歪みはほとんどありません。
そのまま標準偏差をとっても十分使えるということです。
理論上は対数をとった方がいいがどちらでも大して変わらない領域で
計算するので質問のような『・・・の方が好ましい』という表現になったのだと思います。
変な例えですが、拳銃の弾は本当は放物線を描いて飛んでいきます。
でも、短距離なら直線運動していると考えても誤差がほとんどなく、十分予測として
使えそうです。それと同じと思ってください。
自然対数を使う理由ですが、xが十分小さいときに

ln(1±x)≒±x

だからだと思います。だから実際のデータが1付近ばかりならどちらで計算しても
大して変わらないと思います。



標準偏差はデータから分散(σ^2=1/(n-1)*Σ(xi-m)^2)を計算してその平方根として
表されます。期間が250倍になれば分散が250倍になります。分散が250倍になったの
ですから標準偏差はその平方根√250倍になります。数学的には。
実際には質問者さんも書かれている通り、100円を下回ることもおそらく130円を
上回ることも反発力というか調整が働くでしょう。そうすると1年で√250(約15.8)倍する
ことには疑問が残ります。(10年なら50倍です。どこかで実際の動きと制限に
対して限界が来そうです)

この回答へのお礼

＜、-1以上変化するのは為替レートが0以下になることを意味します)
逆にプラス方向は理論上は∞です。明らかに歪んでしまいます。

上記の部分は納得できました。

＜一方、これの対数をとれば元の比が0<X<∞の時、-∞<lnX<∞　になり、歪みがなくなります。

たぶん自然対数のことが分かっていない状態なので、ちんぷんかんぷんでございます。

実際に自然対数で計算した場合との比較をまだ私が行っていないので、なんとも実感がわかないので急いでやってみます。

今日の終値÷　昨日の終値
昨日の終値÷　一昨日の終値
これを５年遡って、とりあえず行い、その時系列データそのままを対象に標準偏差をとりました。これは、１日間分の変動が平均的に言って平均値からどれくらい乖離しているかであると理解しています。
だから、年間２５０日分は、そのまま２５０倍するのだろうと思うのですが、計算結果が現実離れしてしまって、とまどっています。

＜期間が250倍になれば分散が250倍になります
「分散」ではなくて、標準偏差の値を２５０倍すればいいと思うのですが、標準偏差の値がすでにあるのに、なぜ二乗した分散の話になったかが分からないです。平方根にすることが正しいなら、１年の４分の１である√（６２．５/２５０）つまり√（１/４）＝１/２でしたっけ？
そうすると、半年も経っていないのに、３ヶ月だけ経過したのに、２分の１もの倍数的影響をうけるということでしょうか？？？

＜100円を下回ることもおそらく130円を上回ることも反発力というか調整が働くでしょう。そうすると1年で√250(約15.8)倍することには疑問が残ります。(10年なら50倍です）
☆３個差し上げます、私も驚きました。

お礼日時：2007/04/12 00:05

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/04/10 13:34

経理について門外漢ですが、算術的な解釈を少々。

>... ％自体の標準偏差を計算する場合と、この％の自然対数LNの標準偏差を計算する場合があります。
>.後者の方が好ましいと言われる理由は何でしょうか？ 計算結果が異なるのでしょうか？...

変動率はふつう(当日値÷前日値)－１と勘定します。
変動が小きい場合、例えば10%程度なら +10%, -10% を上下同じ幅とみなしても大きな違和感がありません。
しかし、振れ幅が二倍/半分になると +100%, -50% ですから、数字から受ける印象は +100% のほうが強烈です。
同じ上げ/下げ幅で対数をとれば、+0.693, -0.693 となって、変動の度合いが同じ程度だということがわかり
やすくなるからでしょう。
(なぜ常用対数ではなく自然対数を使うのかはわかりません。単なる慣用でしょうか)


>標準偏差を年率に変換する時に、１年間の日数（ここでは週末や祝日を除いて２５０日と仮定します）をそのまま掛けずに√（２５０）を掛けてもいいのでしょうか？

標準偏差ならば自乗平均ですから、日数の平方根をかけるのが正解だと思います。

この回答へのお礼

＜しかし、振れ幅が二倍/半分になると +100%, -50% ですから、数字から受ける印象は +100% のほうが強烈です。
同じ上げ/下げ幅で対数をとれば、+0.693, -0.693 となって、変動の度合いが同じ程度だということがわかり
やすくなるからでしょう。

まさに、この部分が分からないのです。
＋５０％とー５０％というセットでの説明方法でなくて、＋方向を１００％で説明されている部分が私には？？？状態です。

お礼日時：2007/04/11 23:49