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逆像と逆写像の違いを教えてください。

申し訳ないのですが、できるだけ分かりやすいと嬉しいです。

A 回答 (2件)

ANo.1での逆像の定義は違います。

逆像は全単射じゃなくても存在します。

写像 f:A→B と部分集合 U⊆B に対して
 f^(-1)(U) := {x∈A|f(x)∈U}
と定義します。
写した像がある集合に含まれるような元の集まりなので逆像なわけです。

一方で逆写像は全単射写像の逆対応を取るものです。
 全単射 f:A→B = {(x,f(x))|x∈A}⊆A×B
に対して
 f^(-1):B→A = {(f(x),x)|x∈A}⊆B×A
で決まります。
f^(-1)が写像になるためにfが全単射写像であることが必要です。
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1対1の全射となる写像 f : A -> B があって、その逆の対応づけが逆写像


f^(-1) : B -> A

B の部分集合 U に対して f^(-1)(u) u ∈ U の全体の成す A の部分集合 f^(-1)(U) ⊆ A が逆像

つまり、逆像は集合で、逆写像は写像。
# 写像も集合の一種じゃないとツッコまれそうですが。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!!
逆写像はよくわかりました!!
逆像はチョット微妙です・・・(私の頭の問題で)

お礼日時:2007/05/30 01:31

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Q逆写像の求め方

以下の逆写像を求めなさい。
定義域と値域はどちらも実数です。
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。。すみません、逆写像の質問ではなくて数学の基礎なのかも知れませんが、ご存知の方いらっしゃったら教えて下さい。
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?

それでいいです。
逆関数です。


>>>
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√(n+2) と書けばよいです。実数のみですからね。
(n+2)^(1/3) とも書けます。
です。


>>>
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

そうですね。
関数だったら、そうなります。

Q逆像の問題

関数f(x)=1/X^2 を考える。(Xは実数で0ではない)

E=【1,2】の原像f(E)を求めよ

E=【1,4】の逆像f^-1(H)を求めよ

という二つの問題の解答と、答えの導か方について教えてください。

Aベストアンサー

答え導き方といっても,1個1個の元について確かめるしかないような気がします.

f: R - {0} → R, x ↦ 1/x^2.

E = {1, 2}
に対して,
f(E) = {f(x) ∈ R | x ∈ E} = {1, 1/4}.

ただ,このf(E)は「Eの原像」とはよばず,
「写像fによるEの像」ってよぶんじゃないかと思います.

「H = {1, 4} に対して f^(-1) (H) を求めよ」ってことですよね.

1/x^2 = 1 となる実数は x = ±1,
1/x^2 = 4 となる実数は x = ±1/2
なので,

f^(-1) (H) = {x ∈ R - {0} | f(x) ∈ H} = {-1, -1/2, 1/2, 1}.

この「f^(-1) (H)」を「写像fに対する H の逆像」とか「写像fに対する H の原像」とかよぶんだと記憶してます.
要するに,原像と逆像は同じ意味だったはず.

Q逆写像について

逆写像について質問です。
教科書で定義を見てもいまいち理解できません。
具体的な例を挙げます。

いま、A={a,b,c,d,e}とし、AからAへの写像fを
f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)}
とするとf^(-1)の値はどうなるか?

自分が考えたのは、単にそのまま逆にして
f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)}
となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか?
逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(-1)(d)はない
となって、f(-1)は定義できません。
これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。

しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:X→Yに関して、
f(-1)の定義域をf(X)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。

また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。

集合XとYの間に全単射f:X→Yが定義できるときにXとYは対等といって、
X~Yなどと書きます。XとYが有限集合なら、XとYの要素の個数が等しいときのみ可能です。

XとYが無限集合でも、たとえば、
X:自然数全体の集合、Y:偶数全体の集合
として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、X~Yであり、
f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。
すなわち、XもYも無限の度合いが同じということです。

また、X:自然数全体の集合、Y:有理数全体の集合
としても全単射f:X→Yがちゃんと定義でき、X~Yです。
すなわち、有理数全体の集合は1、2、3、・・・と番号付けを
することができます。
(これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール
の考えた方法で、本当です。)

しかし、X:自然数全体の集合、Y:実数全体の集合とすると、
全単射f:X→Yは定義できないので、X~Yではありません。
すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より
高いということで、1、2、3、・・・と番号を付けてすべてを数
え上げることはできません。

逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが
肝心です。

どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。
(ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。)

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(...続きを読む

Q線形写像の核と値域

次の行列が定める線形写像の核と値域を求めよ。
|1 -1|
|     |
|2 -2|

核の方は
|1 -1||x| |0|
|     | |  |=| |
|2 -2||y| |0|

を計算して
y=xとなると分かったのですが、値域の方が分かりません。
かなり基本的な内容だとは思いますが、どなたか教えてください。

Aベストアンサー

変換行列の各列を縦ベクトルとみなし、行列とは縦ベクトルを並べたものであると考えるのが有効です。
 n次正方行列の各列をv1, v2,…vnとします。ここでviはn次元縦ベクトルです。この行列で
|x1|
|x2|
| : |
|xn|

というベクトルを変換してみるとx1v1+x2v2+…+xnvn となります。すなわち、この行列の像(値域)はv1, v2,…vnの線形結合で表わされる空間です。ここでv1, v2,…vnが一次独立ならば値域はn次元空間になります。ところが、一次従属の場合は値域はn次元より小さくなります。
|1 -1|
|2 -2|

という行列の場合も二つの列が一次従属のため値域は2次元ではなく,
|1|
|2|
のスカラー倍という1次元空間になります。そのためv1, v2,…vnのうち一次独立なものだけを残す必要があるのです。例えばvnが他のベクトルに一次従属であれば他のベクトルの一つをスカラー倍してvnに加える操作を何回かすればvnは消去できる(0にできる)はずです。これを行列の形のまま行うのが列についての基本変形です。列についての基本変形は次の3種の操作からなります。
 (1) ある列に0でない数をかける。
 (2) ある列に別の列をスカラー倍したものを加える。
 (3) 二つの列を入れ替える
変換行列の列についての基本変形を繰り返して可能な限り多くの列を0にします。残った0にできない列を表わす縦ベクトルをv'1, v'2,…v'p とします。ここでv'1, v'2,…v'pは一次独立なので「線形写像の値域は?」という問いには「v'1, v'2,…v'pが張る空間」と答えれば良いのです。この数pを行列のrankと呼んでいます。いくつかの例をあげましょう。左側に元の行列,右側に列の基本変形で簡単にした行列とrankを示します。
|1 -1|   |1 0|  rank 1
|2 -2|   |2 0|

|1 2 3|    |1 0 0|  rank 1
|1 2 3|    |1 0 0|   
|1 2 3|    |1 0 0|

|1 0 1|    |1 0 0|  rank 2
|1 1 2|    |1 1 0|   
|0 1 1|    |0 1 0|

|1 0 0|    |1 0 0|  rank 3
|1 1 0|    |0 1 0|   
|1 1 1|    |0 0 1|

n次正方行列が逆行列を持つための必要十分条件はrankがnとなることです。

変換行列の各列を縦ベクトルとみなし、行列とは縦ベクトルを並べたものであると考えるのが有効です。
 n次正方行列の各列をv1, v2,…vnとします。ここでviはn次元縦ベクトルです。この行列で
|x1|
|x2|
| : |
|xn|

というベクトルを変換してみるとx1v1+x2v2+…+xnvn となります。すなわち、この行列の像(値域)はv1, v2,…vnの線形結合で表わされる空間です。ここでv1, v2,…vnが一次独立ならば値域はn次元空間になります。ところが、一次従属の場合は値域はn次元より小さくなります。
|1 -1...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q部分群であることの証明

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む

Qベクトル空間の基底の求め方。

W1、W2をR^4の次のような部分空間とするとき、W1∩W2、W1+W2の基底を求めよ。

(1)
W1={[x y z w]|x=2y,z=w}
W2={[x y z w]|x+2y+4z=0,y+2z-w=0}

(2)
W1=<[2 1 1 0]、[2 -1 -3 2]>
W2=<[2 1 -2 3]、[1 1 0 1]>


以上の問題の解き方が分かりません。
一応(1)の「W1∩W2」は答えに辿り着けたのですが、他がさっぱりです。
どなたか教えてくださると幸いです。

Aベストアンサー

まず、W1+W2の基底を求めるために(1)を(2)のような表し方に変更します。
 W1={[x y z w]|x=2y,z=w}
 ={[2y y w w]}
 ={y[2 1 0 0] + w[0 0 1 1]}
=<[2 1 0 0]、[0 0 1 1]>
同様に
 W2=<[0 1 -1/2 0]、[-2 0 1/2 1]>
したがって
 W1+W2
=<[2 1 0 0]、[0 0 1 1]、[0 1 -1/2 0]、[-2 0 1/2 1]>
よってW1+W2は[2 1 0 0]、[0 0 1 1]、[0 1 -1/2 0]、[-2 0 1/2 1]で張られる空間になりますが、基底を求めるにはこれを並べて4行4列の行列を作り、行についての基本変形を行うことで得られます。
次に(2)のW1∩W2の基底は、(2)を(1)のような表し方に直してから(1)で使った方法によればできるでしょう。

Q同型写像の証明問題

問題)f:R^n→R^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

以上の問題の方針として、Vを集合とした時に写像f:V→V、g:V→Vにおいてf◦g=idv、g◦f=idvならば、f、gは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを
どのように定義していますか?

まあ,実際は
「全単射な線型写像があれば,その逆写像も線型である」
を示せば十分なのでしょう.

任意のベクトルx,y,任意のスカラーk,lに対して,
あるベクトルa,bが存在して
a=f(x), b=f(y)とおける.fは線型なので
ka+lb=f(kx+ly),よって,
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって,f^{-1}も線型

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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