トレース写像の性質??

トレース写像の性質??

写像Ｔ:Ｆq→ＦqをＴ(x)=Σx^p^i(Σは下がi=0,上がn-1)
pを素数,nを正整数,q=p^nとする。
１,このときＴはＦp線形写像であることを示せ

２,Ｔの像{Ｔ(x)|x∈Ｆq}はＦp⊂Ｆqに一致することを示せ

という問題があるのですが,
まず１は,二項定理を使ったときに,係数がpの倍数のときはその項が消えて
(x+y)^p=x^p+y^pになるみたいなんですが,その理由がわかりません。何か性質があるんでしょうか??

２に関してはとっかかりが分かりません,解き方のヒントがあれば教えてほしいです!!

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/30 12:15

a?F_p ⇒ pn = 0.

T(ax+by)
= Σ[i=0,n-1](ax+by)^{p^i}
= ΣΣ[j=0,p^i]C[p^i,j](ax)^j(by)^{p^i-j}

(1-1) 0<j<p^i のとき、C[p^i,j]a^jb^{p^i-j}
a,b?F_pだから、0<j<p^iのときC[p^i,j]がpの倍数であることを示せばよい。
C[p^i,j] = p^i/j ×C[p^i-1,j-1]、pが素数で、j≠p^iだから、ok。

(1-2) a^{p^i} = a
F_pは体だから、a^{p^i}?F_p
フェルマーの小定理より、a^p ≡ a (mod p)
a^{p^i} = (a^p)^{p^i-1} だから、a^{p^i} ≡ 1 (mod p)。

(2) F_q = Im(T) ? Ker(T).

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/07/30 00:35

>その理由がわかりません。

p の倍数になるのがわからんの？
それとも「その項が消えて」がわからんの？