多変数の逆関数定理証明途中での質問

f(x_0)=x_0
A:=Df(x_0)
h(x):=A^-1x+x_0-A^-1f(x_0)
h^-1(y)=A(y-x_0)+f(x_0)
Vをx_0の開近傍

次のような式がありました。
（f|V）^-1=(h^-1о（hоf）|V)^-1=(（hоf）|V)^-1оh

この式の左から２番目から３番目の関係が理解できません。
わかる方教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/20 21:32

補足を拝見しました。

＞ この式の左から２番目から３番目の関係が理解できません。

ということだから、
( h^-1 о (hоf)|V )^-1 = [ (hоf)|V ]^-1 о h
が成立する理由を説明して欲しい…という質問ですね？

一般に、可逆な写像 F, G の合成写像 FoG に対して、
(FoG)^-1 = (G^-1) o (F^-1) が成り立ちます。
y = G(x), z = F(y) のとき、
((FoG)^-1)(z) と (G^-1) o (F^-1)(z) の値が
それぞれどうなるか、計算してみてください。

それを使って、
( h^-1 о (hоf)|V )^-1 = [ (hоf)|V ]^-1 o [ h^-1 ]^-1
= [ (hоf)|V ]^-1 o h
です。

この回答へのお礼

返信遅くなってすいません。
理解できました。
ありがとうございます

お礼日時：2013/09/25 21:11

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/19 21:23

記号もちゃんと定義しないで

式だけズラズラ並べても、
何を書いているのか、サッパリ伝わりません。
質問は、日本語で書こうよ。

証明したい定理の内容と
途中までの証明の経過を、説明してください。

質問は、それからです。

この回答への補足

失礼しました。
下記に定理と証明の仮定。記号の説明をいたします。
【逆関数定理】
U⊂R^Nは開集合で、f:U→R^NはU上C^1級、x_0∈UかつJf(x_0)≠0とするとx_0の開近傍Vとf(x_0)の開近傍Wで次ぎの性質するものが存在する。
(1)fのVへの制限f|Vは1対1でf(V)=W
(2)f|Vの逆関数g:W→VはW上C^1級で、y∈Wに対し
Dg(y)=[(Df)(g(y))]^1
が成り立つ。
また、fがC^r級(r≧1)ならばgもC^r級になる。

※Jf(x_0)はヤコビアン

【証明】
（x_0=f(x_0),Df(x_0)=Iの場合への帰着）
A:=Df(x_0)は仮定より正則なので
h(x):=A^-1x+x_0-A^-1f(x_0)
によってh:R^N→R^Nを定めるとhはR^N全体でC^1級である。
従ってhоfもU上C^1級で
hоf(x_0)=x_0とD(hоf)(x_0)=A^-1Df(x_0)=I(=N次単位行列)
が成り立つ。hоfについて定理が示されればもとの定理が成り立つ。実際、定義よりhはR^N上1対1で
h^-1(y)=A(y-x_0+A^1f(x_0))=A(y-x_0)+f(x_0)
もC^1級であるので、x_0の開近傍V_1と(hоf)(x_0)の開近傍W_1が(1)、(2)と同様の条件をhоfに対してみたすものとすると
V:=V_1,W:=h^-1(W_1)
が(1)、(2)の条件をみたすことが次ぎのことから分かる
hоf|V_1が1対1⇔f|Vが1対1、
hоf(V_1)=W_1⇒f(V)=h^-1оhоf(V)=W、
(f|V)^-1=(h^1о(hоf)|V)^-1=[(hоf)|V]^1оh

証明つづく・・・・
※
hоfは合成関数です
Df(x_0)はx_0でのfの微分係数
R^NはN次元実数空間
A^-1はAの逆行列


この最後の式の、(f|V)^-1=(h^1о(hоf)|V)^-1=[(hоf)|V]^1оhの関係が分かりません。
よろしくお願いいたします。

補足日時：2013/09/20 17:02