『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

ばねの上におもりが乗せて手を離す。物体の速さが最大になるのは、はじめの高さからいくら下がったところか。という問です。
計算過程でどうしてもわからないところがあります。
力学的エネルギー保存の法則から
0=-mgx+1/2mv^2+1/2kx^2 
ここからが特にわかりません。
1/2mv^2=-1/2k(x - mg/k)^2+m^2g^2/2k

になるようですが、さっぱりわかりません。
xが(x - mg/k)にかわっている意味がわかりません。
どっから来たかわかる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (7件)

0=-mgx+1/2mv^2+1/2kx^2 


移行して
1/2mv^2=1/2kx^2-mgx
1/2mv^2=yとおくと
y=1/2kx^2-mgx
後は平方完成してyの最大値を出したらよいと思います。
    • good
    • 1

#3のご回答に近いです。



質量mの物体を載せたときの釣り合いの位置をaとします。
mg=kaです。a=mg/kです。質問文の中のmg/kは釣り合いの位置です。aを入れて書き直す(kを消す)と簡単になります。
(#3では変数の数が増えてしまっています。)

(1/2)mv2=mgx-(1/2)kx^2
        =mgx-(1/2)(mg/a)x^2
v^2=2gx-gx^2/a
  =gx(2a-x)/a
x=0,2aでV=0です。x=aで最大値v=√(ga)です。
(a=mg/kを代入すると元に戻ります。)

釣り合いの位置を振動の中心として振幅aの振動をします。釣り合いの位置を通過するときの速さが最大です。
    • good
    • 0

たびたびすみません。


座標の基準を変えて違う解法で解いてました。
ただの平方完成のようですね。
私の意見は無視してください…。
    • good
    • 0

 問題の式から、左辺を1/2・mv^2とし、右辺をxについて平方完成させれば、求める式が得られます。



  0=-mgx+1/2・mv^2+1/2・kx^2
  1/2・mv^2=-1/2・kx^2+mgx
      =-1/2・k(x^2-2mgx/k)
      =-1/2・k{(x-mg/k)^2 -(mg/k)^2}
      =-1/2・k(x-mg/k)^2 -1/2・k(mg/k)^2
      =-1/2・k(x-mg/k)^2 -(mg)^2/(2k)
    • good
    • 0

No.3です。


もしよければ、問題の全文があると助かります。
ちなみにこれは、手を放すと単振動をすると思います。
参考まで。答えは、バネの弾性力と物体にかかる重力がつりあう位置だと思います。
    • good
    • 0

問題でどの文字を使用していいのかが分からないため、完全に説明することはできません。


とりあえず、式の変形だけ。

質量mの物体をバネ定数kのバネにのせ、つりあう位置をx’とします。
力のつり合いから、
  F=kx’=mg 
を変形して
  x’=mg/k 
となります。
バネの変形がX(xからx’だけ変形したとき)、バネののびはx-x’
なので、弾性エネルギーは
  1/2kX^2=1/2k(x-x’)^2=1/2k(x-mg/k)^2
となりますか?
    • good
    • 0

訂正;符号が逆になってました。


1/2mv^2=-1/2kx^2+mgx
1/2mv^2=yとおくと
y=-1/2kx^2+mgx
後は平方完成してyの最大値を出したらよいと思います。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギー。

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです(とはいっても0ですが。)

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから(わかる。)

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。
(2)と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
(状況が違うから。)

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長...続きを読む

Aベストアンサー

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。1つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。2つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
 摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

>つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

 真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置(最高点)とつりあい位置では保存則が成り立っています。
 瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力(この場合は人の手ですかね)が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。


■質問者様の疑問その2 問題(2)
>それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

 この場合の(数字の0)≠(存在しない)です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。(力学的エネルギー)=0と見ると分かりにくいのであれば、(重力による位置エネルギー+運動エネルギー)=(ばねの弾性力による位置エネルギー)と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その3 問題(3)
>しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。

これも問題(2)と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。



 私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
 重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします(ex.基準点を変えたり)。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/2943111.html

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ...続きを読む

Q鉛直運動での、ばねのエネルギーと位置エネルギー

天上にばね(ばね定数k)をつけ、その先に物体A(質量m)をつけ、下から物体Bをぶつけ、鉛直上向きにAを運動させた。衝突の瞬間のAの速度は上向きにVであり、Aは最大どこまで上るか?という問題で、エネルギー保存を考えたんですが、僕はその時、hまで上がると仮定し、
1/2mv2(二分の一 M Vの二乗)=mgh+1/2kh2(二分の一 K hの二乗)
としたのですが、解答だと、
1/2mv2=1/2kh2
と、重力の位置エネルギーがごっそりなくなっています。
これは何故でしょうか?
ばねが押し縮められ、さらに重力も鉛直下向きにかかりますよね?
僕は衝突する位置を基準点と考えて、この式をたてましたが、何故位置エネルギーは考えていないのでしょうか?

Aベストアンサー

(1/2)kh2としたときの基準の取り方が問題になっています。
貴方のように正直にやるやり方で正しい結果を出すことも出来ます。あらかじめぶら下げたバネの運動が水平に置いたバネの運動と同じになることを確かめておいてからその結果を使って出すことも出来ます。2つのやり方でバネの長さに対する基準が異なります。

貴方のやり方でやってみます。
運動エネルギー、重力の位置エネルギー、バネの弾性エネルギーです。重力を考えているということは重力がかかっていないときのバネを基準にとって考えていることになります。従ってバネの長さの基準は自然長です。
ぶら下がっているときの伸びをaとします。その状態からhだけ上に上がることになります。釣り合いの式はmg=kaです。
エネルギー保存の式は
(1/2)mv2+(1/2)ka2=mgh+(1/2)k(h-a)2
です。mg=kaを代入して整理すると
(1/2)mv2=(1/2)kh2
になります。

回答はいきなりこの式を出しているようですね。その場合は伸びている位置を自然長に読みかえています。その場合は重力は現れてきません。それを示してみます。
仮におもりが元の位置のxだけ下にあるとします。運動方程式は下向きを正にとると F=mg-kx です。これに mg=ka を代入します。
F=ーk(x-a) になります。
これは単振動の式です。変位は元の位置からではなくて釣り合いの位置からのものです。重力は消えています。
このバネを水平に置いて振動させるときは自然長からの伸びで考えますがぶら下げたときは釣り合いの位置から伸びを考えればいいということになります。
これを踏まえるとエネルギー保存の式は運動エネルギーと弾性エネルギーだけでいいことになります。重力の位置エネルギーは出てきません。弾性エネルギーの基準は釣り合いの位置です。基準の位置が変わることに注意が必要です。

(1/2)kh2としたときの基準の取り方が問題になっています。
貴方のように正直にやるやり方で正しい結果を出すことも出来ます。あらかじめぶら下げたバネの運動が水平に置いたバネの運動と同じになることを確かめておいてからその結果を使って出すことも出来ます。2つのやり方でバネの長さに対する基準が異なります。

貴方のやり方でやってみます。
運動エネルギー、重力の位置エネルギー、バネの弾性エネルギーです。重力を考えているということは重力がかかっていないときのバネを基準にとって考え...続きを読む

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

価格.com 格安SIM 料金比較