ばねの質量を考慮すると？

力学の初歩的な問題で、「天井に吊るした一様なばね(ばね定数K)に質量Mの物体をぶら下げた時、この系の固有振動数を求めよ」というのをよく見かけます。

ところで、この問題には簡単のために「ばねの質量と空気抵抗を無視する」と言う条件が付きますが、もしばねの質量をMsとでもすると、運動方程式はどう変わるのでしょうか？

ばねの部分をn個に分けて、１個分の「何か」をn個分積分して、nを無限大にでもするのかなとは思ったのですが、その「何か」が変位なのか何なのか、そしてそれはどうやって求めるのかが分かりません。

初歩的な問題かとは思いますが、ご教示よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/11/13 00:41

バネに質量がある時の一番の問題は、

「"バネ全体の伸び(＝おもりの変位)"だけでは"バネの復元力"が決まらない」
という事ではないでしょうかね。つまり、ばね全体の長さが同じでも上の方がたくさん伸びているとか、下のほうがたくさん伸びているといった、"バネの状態"が違えば、おもりが受ける力(復元力)が変わってしまうんです。

バネに質量がない場合、
バネの各部分で運動方程式をたてると、質量がゼロなので加速度の項が消えて単なる釣り合いの式になります。という事は、弦の張力と同様に、バネを細かく分割した時の復元力は、いたるところで等しいという事になります。復元力が一様という事は、各部分の伸びも一様という事です。
まとめると、バネの質量がゼロなら、バネは必ず『一様に伸びる』という事になります。
※だから、バネ全体の伸びを指定してやれば、復元力が決まります。

一方、バネに質量がある場合には、加速度の項が消えないので、結果として、バネは一様に伸びるとは限らない、という事になります。なので、バネ全体の伸びを指定しても、バネの各部分の伸びが決まらないことになります。おもりに働く力は、下の方の部分の伸びで決まるので、おもりに働く復元力も決まりません。

ただ、「ばねをｎ個に分ける」という風に考えて(ｎ→∞とはしません)、運動方程式をたてることを考えると、運動方程式を対角化するだけですので、所謂、「定常状態」が存在するはずです。この定常状態では、「バネの伸びと復元力が比例」しているはずです。
実在のバネ(←当然質量はゼロでない)の場合にはそのような定常状態(に近い状態)が実現される場合が多いと思います。
しかし、このような定常状態における「バネ定数(＝バネの伸びと復元力の比)」はバネ固有の量であるかが微妙な所です。おもりの質量(←これはバネとは無関係の量)もちょっとだけ影響する気がします。

・・・と考えてみたのですが、どうでしょうかね？他の方の意見も聞いてみたい所です。
※上のような考え方が正しいかは分かりませんので、参考程度に受け取ってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

お礼日時：2006/11/14 06:51

No.3 回答者： noocyte 回答日時： 2006/11/16 16:47

> ばねの部分をn個に分けて (中略) nを無限大に

した場合について言うと，

> 運動方程式はどう変わるのでしょうか？

運動方程式は常微分方程式から偏微分方程式に変わります．
数学的にはこれが一番大きな変化でしょう．

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2006/11/13 12:00

ばねの質量を無視できない場合

#1さん回答にも関係しますが、
「ばね」の部分に粗密な所があると、粗密波がばねの中を行き来する、という成分も運動方程式の中に入って来るかと思います。