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バネ振り子のバネの長さをもとの長さの2倍にすると、周期はどうして√2倍になるのですか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

「バネの長さを2倍にする」=「同じバネを2個直列につなぐ」と考えてよいですか?



まさか「元のバネを2倍の長さに引き伸ばして使う」ということではありませんよね? これだと同じバネだから周期は変わりませんから。

「同じバネを2個直列につなぐ」ということは、「同じ重さのおもりを吊り下げると、全体のバネの伸びは2倍になる」ということは分かりますか?
「作用・反作用」で、2つのばねそれぞれに「おもりの力」が等しく働くので、各々のバネが「1個でそのおもりを吊り下げたときの伸び」になるからです。
同じ力で伸びが2倍になるのだから、バネ定数は 1/2 になったことになります。

バネ振動の周期は、公式から
 T = 2パイ√(m/k)
(T:周期、m:おもりの質量、k:バネ定数)
ですから、k が 1/2 になれば T は √2 倍になります。

バネ振動の周期の求め方は教科書に載っていると思いますが、必要ならこんなサイトも参考に。

https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/ban …
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水平でも鉛直でも、


バネ振り子の周期T=2π√(m/k)。
※「バネの長さ」とは無関係。

「バネの長さが2倍」じゃなくて、
「バネ定数kのバネを2個繋いだ」のなら、
全体のバネ定数をk‘とすると、
両方のバネが(1個の時と)同じ長さだけ
伸びるから、mg=-k’x=-kx-kx=-2kx
∴k’=2k
そうすると、連結した後のバネ振り子の周期T‘=2π√(m/k’) =2π√(m/2k)
で、もとの「1/√2倍」になると思います。
「バネ振り子 バネ2つ」とかで検索してみましょう!
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ばね2こを直列にするということ?



F=Kx この式のばね定数Kは ばねの伸びにくさを表す定数です
同じばね定数kのばねを2個直列にして、その両端をFの力で引っ張ると
これらのバネはそれぞれ、その両端からFの力で引っ張られるので
それぞれの自然長からの伸びはx
2つの伸びは合計で2xとなります
ゆえに 直列ばねの合成ばね定数をK'とすれば合成ばねを表す式は
F=K'(2x)より
個々のばねを表すフックの法則の式は
F=Kx
2つの連立法廷し機から
Kx=K'(2x)
K'=(1/2)K=0.5k
つまり、2つのばねを直列につないだものを1つのばねとみなす場合
そのばね定数は元の1/2になり ばね定数=(1/2)Kということです

このとき、ばね振り子の周期は 
T=2π√(m/ばね定数)なので
ばね定数k(直列つなぎする前のばね1個)でのばね振り子の周期は
T=2π√(m/k)
(直列つなぎする前のばね1個)ばね定数kでのばね振り子の周期は
T'=2π√(m/0.5k)
よって周期ははじめの√2倍となり
T'=2π√(m/0.5k)=2π√(m/k)・(1/√0.5))=2π√(m/k)・√2=√2T
となります

簡単に言うと ばねを直列接続することによって
ばねが伸びやすくなるので、(復元力が小さくなるので)
振り子の1往復にかかる時間が伸びて
周期が増大するということなのです
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周期を求める公式は 分かりますね。


長さが 2倍になれば、バネ定数は 1/√2 になりますね。
で、周期は 1/(1/√2)=√2 倍ですね。
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