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大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに
「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。
そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか?
自分なりに調べてみて、

・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。
・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が0になる。

これって正しいですか?(数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません)

gooドクター

A 回答 (2件)

似たような用語で「フーリエ展開」も有ります。


フーリエ変換とかフーリエ展開は、歪んだ波からフーリエ級数を求める事を言います。つまり、フーリエ変換やフーリエ展開は操作(動詞or動名詞)、フーリエ級数はその結果を言うわけです。

一方、工学の世界では、複雑な波を、周波数別に分離する手段としてフーリエを使います。どちらかと言うと位相は気にせずに周波数とその強さだけを気にします。
このときも、フーリエ変換とかフーリエ展開といっていると思います。
よく、アンプの特性グラフなどで、縦軸:振幅、横軸:周波数と言うのを見ます。
波の分析で「スペクトラムアナライザ」というのを使いますが、これなど、まさに周波数とその強さだけを、ブラウン管上に表示するものです。
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フーリエ級数は周期関数または定義域が有限区間に限定された関数にしか適用できない


フーリエ変換は周期関数だけではなく周期性がない関数にも適用できる
フーリエ級数の係数がフーリエ変換に対応し
フーリエ級数がフーリエ逆変換に対応する
フーリエ級数は収束するとは限らず収束しても元の関数に等しくなるとは限らない
しかしほとんどの場合元の関数と同じと見ていい
不連続点では右極限と左極限の平均になるがほとんど至るところ等しいと言うことは言える
フーリエ変換の逆変換が元の関数に等しくなることをフーリエの反転公式と言うがフーリエの反転公式はいつも成り立つわけではない
しかしそう思っても問題はない
特に超関数の範囲ではそう思っていい
ほとんど至るところ等しい関数は同一視されるのだから
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