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空集合のべき集合が空集合であることを証明したいのですが、
こういうあたりまえって思える証明はやっぱり背理法を用いるのでしょうか?

A 回答 (2件)

空集合のべき集合は空集合ではなくて,


空集合を要素に持つような集合
{Φ}
を1つ持つのだと思いますが,違うのでしょうか?
一般にn個の要素を持つ集合の冪集合の要素の個数は2^nですが,
n=0のとき,すなわち空のときは,2^0=1で,1つの要素を持つとしてつじつまもあいますし.
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この回答へのお礼

そうか。空集合っていう集合がありますね。
とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2007/07/31 12:47

>空集合のべき集合が空集合



空集合φのベキ集合は
{φ} (要素が空集合である集合)
であって空集合ではありません.
すべての集合は
その部分集合として自分自身と空集合をもつのですが,
自分自身が空集合なのでこうなります.
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Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q空集合について〇か×か返答をお願いします。次の集合の部分集合を全てあげ

空集合について〇か×か返答をお願いします。次の集合の部分集合を全てあげよ。で、問題が(1){3,4}=Ф,{3},{4},{3,4}であってますか。 ついでにもう一問お願いします。↑と同じ問題で(2){5,6,7}=Ф,{5},{6},{7},{5,6,7}であってますか。2つとも返答お願いします。間違っていれば教えてください。

Aベストアンサー

質問者の方が,誤解しないように,書いておきます.

#3さんは,空集合を,{Φ} と書いておられますが,
空集合は,カッコをつけず,単に,Φ と書くことになっています.
空集合は,Φ だけで集合を意味しますから,普通,{Φ} とは書きません.

また,余談になりますが,空集合 Φ の文字は,
ギリシヤ文字の Φ(ファイ,phi)ではなく,
空集合を表す記号が特別に存在します. Φ に似ており,
0(ゼロ)に斜めの棒 / を重ね合わせたような記号です.
TeX などでは,はっきりと区別されて用います.

念のため,いちど,お調べになってみて下さい.

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Q順序対について

こんにちは.2年ほど前に分からないまま過ごしてきた
問題でしたが,また再び再燃してしましました.もう決着をつけたいのでお願いします.

順序対(a,b)≡ {{a}, {a,b}}

をこのように定義すれば,次の順序性が証明できるとあります.

つまり,
(a,b)=(c,d) ならば,a=c かつ b=d
また,
a≠b ならば,(a,b)≠(b,a)

宜しくお願いします.

Aベストアンサー

これよりも前の「直積集合の定義」の話は
これが分かってないと厳しいように思います.
ZFの話でいいんですよね.
集合を
ZFの中の「対の公理」
「x, yに対して,x と y のみを元とする集合が存在する。」
はご承知ですか?
ちょっといい加減に記号化すると
x,y に対してZ={x,y}となる集合が存在するというやつです.

さて,aに対して,{a}という集合が存在します
(これは対の公理でx=y=aとした場合).
さらに,aとbに対して,{a,b}が存在し(対の公理),
今度は{a}と{a,b}に対して,対の公理を適用して
{ {a}, {a,b} } が存在します.
これを (a,b) と書き順序対というわけです.

やっと問題に到達しました.
全部,ZFの公理のみで証明できて
どれがどの公理を根拠とするかは書けるのですが
ほとんどが外延公理と対の公理で,うるさいだけなので
省きます.

(1) 「(a,b)=(c,d)」 ならば 「a=c かつ b=d」
(a,b)=(c,d) と仮定する,つまり
{ {a}, {a,b} } = { {c}, {c,d} } ・・・(I)
です.
さて,ここで a ≠ c と仮定します.
すると,{a} ≠ {c} です.
よって(I)より {a} = {c,d} です
c ∈ {c,d} = {a} となるので c=aとなり,これは矛盾
よって,a=c です,

つぎに,b ≠ d と仮定します.
(I)および a=c より {a,b} = {c,d} です.
b ∈ {a,b} = {c,d} です.
ここで,もし c = d であるならば,
b ∈ {a,b} = {c,d} = {d}なので b = d となり矛盾
したがって,c ≠ d です.
ここで,
b ∈ {a,b} = {c,d},c ≠ d, b ≠ d なので
b = c となります.ところが,すでに a = c を示した
a = b です.
つまり,{a} = {a,b} = {c,d},つまり,c=d で矛盾です.
したがって,b = d となります.

(2) a≠b ならば,(a,b)≠(b,a)
これは(1)から明らかです。対偶をとる.もしくは背理法.

久しぶりに公理的集合論をかんがえたので
何か抜けてるかもしれませんが,流れはこんな感じです.

ちなみに,a=b,c=dのケースもあるので単純な
「個数比較」ではできません.

これよりも前の「直積集合の定義」の話は
これが分かってないと厳しいように思います.
ZFの話でいいんですよね.
集合を
ZFの中の「対の公理」
「x, yに対して,x と y のみを元とする集合が存在する。」
はご承知ですか?
ちょっといい加減に記号化すると
x,y に対してZ={x,y}となる集合が存在するというやつです.

さて,aに対して,{a}という集合が存在します
(これは対の公理でx=y=aとした場合).
さらに,aとbに対して,{a,b}が存在し(対の公理),
今度は{a}と{a,b}に対して,対の公理を...続きを読む

Q全射の総数

|X|=4、|Y|=3であるとき、写像f:X→Yで全射になる写像の総数はいくらか

この回答は36なのですが、考え方が良くわかりません、誰か教えてください、お願いします

Aベストアンサー

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で12ですが、これは順列でないので、2で割ると6が出てきます。
 
  Xの四個の要素のなかで、二つを選ぶと、残りの二個は自動的に決まります。つまり、6通りに分けて、それぞれ要素が違う三つの要素があると考えてよいのです。こう言っても分かりにくいかも知れませんから、具体的に、その6通りを以下に書いてみます。X={a,b,c,d}とします。
 
  ケース1){(a,b),c,d}
  ケース2){(a,c),b,d}
  ケース3){(a,d),b,c}
  ケース4){(b,c),a,d}
  ケース5){(b,d),a,c}
  ケース6){(c,d),a,b}
 
  これら6個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Yの三つの要素の位置に、これら6ケースごとで、三つの要素を入れて行く(対応させて行く)ことを考えると、これが、X→Yの全射になります。6個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、6個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
 
  従って、Yの三つの位置に対する順列を取ると、3・2・1=6で、これと、ケースの数6をかけると、6・6=36になり、これが、答えです。
 
  注記)六個のケースの三つの要素(二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意)の順列をどう入れ替えても、6個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
 

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で1...続きを読む

Q2項関数(集合・べき集合)についての質問です。

2項関数(集合・べき集合)についての質問です。

(1)p(A)は集合Aのべき集合を表し、A×Bは集合AとBの直積集合を表す。
A={a,b,c}のとき集合p(p(A))の要素数を答えよ。

(2)A=p({a})のとき、集合A×p(A)を、要素を列挙して表せ。

という問題なのですが、

(1)はΦ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}の8個ではないか思ったのですが、『p(A)×p(A)』ではなく『p(p(A))』と書かれているので、違う気がしています。
a
(2)は何故A×p(A)とp(A)×p(A)の違いが分からず悩んでいます。

初歩的な質問ですみませんが、どなたか説明して頂けないでしょうか?
お願いします。

Aベストアンサー

信号機の質問をした人ですね?
この質問と補足をみて、どうしてわからないのか何となく納得しました。

どうやらベキ集合とは何か、直積とは何か、それと数学で使う括弧とかの記号の使い方が根本的にわかっていないんだと思います。

p(A)はAの部分集合全体

ここでAをp(A)で置き換えて、

p(p(A))はp(A)の部分集合全体

なわけですが、文章の書き方から受けた印象では、仮に誰かからここで詳細な回答をもらっても、どうしてその回答でいいのか理解できないだろうと思います。

集合論の本なり講義のノートなりを1ページ目からじっくり読み直してみることを強くお勧めします。

質問の問題たちは、べき集合と直積の定義がわかれば自力で必ず正答できます。

正答できなければわかっていないことになるので、この問題はそれをチェックするためのものと考えれます。

Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

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お願いします

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最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
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Q上界と上限と最大値の違い

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
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>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x かつ、 xはAに含まれる(xはAの元である)
 つまり、Aの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、A={x;xは実数 かつ x<1} なんてとき、Aに最大値はありませんね。
 自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・xがAの上限 ⇔ xはAの上界の最小値
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、A={x;xは有理数 かつ x^2<2} なんてとき、Aに上限はありません。
 実数の世界では上界があるなら上限があります。

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x ...続きを読む

Q「空集合はすべての集合の部分集合である」の説明

忘れていた「空集合はすべての集合の部分集合である。」ということを、ふと思い出しました。

「はて、この証明は…?」ということで、考えたり、調べたりしたのですが、約束ごと(つまり定義)という説明があったり、論理学的に真理値表から導いていたりしていました。

高校の教科書では、「きまり」になっており、厳密な説明がなされていません。

わかりやすい、よい説明があれば教えてください。

Aベストアンサー

『集合Aが集合Bの部分集合である』とは、その定義から、『どんなxについても、x∈Aならばx∈Bである』と等価です
Aが空集合であれば、その定義から、どんなxについても、必ず『x∈A』は偽となります
命題『PならばQ』は命題Pが偽であれば命題Qの真偽にかかわらず真ですから、『x∈Aならばx∈Bである』も『x∈B』の真偽にかかわらず(すなわち、どんな集合Bについても)真になります


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