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定義域が決められている関数の極値や変曲点を求める問題を解くときに,定義域の端で極値または変曲点となる場合がありますが,この場合その点は極値や変曲点に含めるのでしょうか?

A 回答 (2件)

そういう問題に出くわしたことはないのですが、



定義域がa<x<bというケースでは、当然含めません。

定義域がa≦x≦bというケースですと、
極値や変曲点を持つxを、x=aの右からx=aへの極限、x=bの左からx=bへの極限、
というふうに考えることになってややこしいので、
但し書きが無い限り、通常は含めないことにすると思います。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございました!

お礼日時:2007/08/05 01:31

普通は含めません.


とくに「受験」が関わるような場合は,
採点のブレが発生しないようにいろいろ工夫されているので
微妙な問題は出さないのが普通です.
そのチェックが甘いと毎年新聞とかをにぎわす問題になるのです
(数学では滅多にないですけどね)

そもそもの変曲点とか
「極値をとる点」という言葉の定義を理解しましょう.
教科書は巧妙にできているので,
極値とか変曲点の定義は「誤解を招かないよう」書かれているはずです.

例えば,関数 f(定義域 I)がIの点aで極値をとるとは
a の「前後」で関数の増減が変化することです.
ちなみに微分して0になるというのは,fが微分可能のときに
そのような点が「候補」になるというだけ
#「fが微分可能かつx=aで極値をとる」ならば 「f'(a)=0」
#逆は成立しない.
したがって,例えば,実数全体を定義域にしたとき
f(x)=|x|はx=0で「極小」です
ところが定義域を x>=0 にしてしまえば,f(x)=|x|は極値なしです.

変曲点についても同様.変曲点は関数fの傾きの関数(敢えて導関数とはいいません)の極値をとる点のことです.

極値・変曲点といった場合には「その前後」(数学関係者は
その点の「十分小さな近傍」という)が存在することを
暗に要求しています.
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2007/08/05 01:32

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>y=sinxの変曲点における接線の傾きは±1で良いのでしょうか?

正しい表現とは言えません。
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x=nπにおけるy'は
y'=1(x=2mπのとき),
=-1(x=2mπ+πのとき)
従って
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変曲点(x,y)=((2m+1)π,0)における接線の傾きy'=-1
となります。(mは全ての整数)

全ての変曲点において接線の傾きが±1の2通り(すなわち接線が2本)存在する訳ではありませんので表現に気をつけたいですね。

>そもそも変曲点に接線は定義出来るのでしょうか?
>変曲点上では接線は定義できないような気がするのですが・・

定義できます。教科書で「接線の定義」をご確認下さい。
参考URLでも確認できますので復習しなおして下さい。
http://ar.aichi-u.ac.jp/lecture/math/d.pdf

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/接線


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