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f(z)=1/{z・sin(z)}
の特異点と、留数を求めよ。

という問題なんですが、特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?
ここから、留数のもとめかたがわかりません。
詳しい方お願いします。

留数の定理は一応しっております。

gooドクター

A 回答 (1件)

> 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?



あれ,分母がゼロになる点ですから,z=0, ±nπ (n=1,2,3…)が特異点ですよ.

z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります.
z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから,ここは2位の極です.
z=±nπ では sin z だけゼロになりますから,これらは1位の極です.

さて,z=0 の周りでは,ローラン展開が
(2)  f(z) = A/z^2 + B/z + C + Dz + Ez^2 + ...
の形になるわけですから,
(3)  z^2 f(z) = A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + ...
です.
したがって,係数 B (すなわち,留数)は
(4)  B = lim{z→0} (d/dz){z^2 f(z)}
で求められます.

同様に,z=nπ ならローラン展開は
(5)  f(z) = B/(z-nπ) + C + D(z-nπ) + E(z-nπ)^2 + ...
ですから,
(6)  B = lim{z→nπ)} {(z-nπ) f(z-nπ)}
です.

計算は容易ですからお任せします.

公式にするなら,
f(z) が z=a において k 位の極を持つときには,そこでの留数は
(7)  {1/(k-1)!} lim{z→a} [d^(k-1)/dz^(k-1){(z-a)^k f(z)}
ということになります.
(4)は k=2,(6)は k=1 の場合ですね.

この回答への補足

ええと、説明の意味はわかるのですが、ローラン展開がわかりません。
これもついでに説明していただけないでしょうか?

補足日時:2002/07/28 13:40
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