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関数f ( x ) = xlog x - ax^2 -x + 1 について、次の問いに答えよ。
f ( x ) が極値をもつような a の取り得る値の範囲を求めよ。
解答
「 f ( x )が極値を持つ 」 「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」
「x > 0 において y = log x と y = 2axのグラフの上下が変化する」
y = logx 上の点( t , log t ) における接線は・・・・・★
y = 1 / t ( x - t ) + log t
= 1 / t x - 1 + log t
これが( 0 , 0 ) を通るとすると
0 = - 1 + log t
log e t = 1 ( log のeが低でtが真数です )
∴ t = e
よって y = logx の接線で原点を通るものは y = (1 / e )x
したがってグラフより
2a < 1 / e
∴ a = 1 / 2e
★以降がよくわかりません。
なぜ、接線が出てきて、原点を通るものなのか、eはなぜでてきたのか。
わかりやすく、教えてくださいお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
解答2行目の「x > 0 において y = log x と y = 2axのグラフの上下が変化する」という表現がわかりにくくて、ここは「x > 0 において y = log x と y = 2axのグラフが2点で交わる」とすれば分かりやすくなるのではないでしょうか。
y = 2axは原点を通る直線ですから、y = log x と y = 2axのグラフが2点で交わるためには、原点を通りy = log xに接する直線の傾きよりも、y = 2axの傾きが小さい必要が有ります。このため、接線を求めているのです。
数学でlogの底を省略している場合は、底はeです。
y=log x ならば、x=e^yなのはご存じですね。
log t=1 を解けば、すなわちt=eです。
No.4
- 回答日時:
参考までに、接線を使わない方法も示しておきます。
f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つというのは、
f ' ( x )が増加して、x軸を横切る、または、f ' ( x )が減少して、x軸を横切る、のいずれかであればよいので、
f ' ( x )の増減表を書いてみます。
f '' ( x ) =1/x - 2a より、y = f ' ( x ) は、1/2a で極大となります。(表は自分で作ってみてください)
また、lim[x→0](f ' ( x ))=-∞
lim[x→∞](f ' ( x ))=-∞(これは、たぶんlim[x→∞](x/e^x)=0 からいえるでしょう。)
ですので、log(1/2a)-1>0 なら、かならず「f ' ( x )がx軸を横切る」、すなわち「f ( x )が極値を持つ」ことがわかります。
あとは、log(1/2a)-1>0 を解くだけです。(a>0を忘れずに)
a<=0 のときも同様に、解けます。(単調増加になると思います)
(このときは、lim[x→∞](f ' ( x ))=∞ に注意)
No.3
- 回答日時:
>「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」
ということなので、logx-2ax がx>0において、常に
logx-2ax>0 とか logx-2ax<0 とかになってはいけない
ということですよね。(実際はlogxのグラフとaxのグラフを
考えてみれば、常にlogx-2ax>0 はありませんが・・)
そこで、x>0において常にlogx-2ax<0となるのはどんな
場合かとみれば、原点を通る直線y=2axが曲線y=logxの上側
にある場合です。(logx<2ax→logx-2ax<0となる)
そしてそのとき、直線y=2axの傾き2aは、曲線y=logxと接する
ときの傾きより大きくなっています。
したがって、逆に、x>0において常にlogx-2ax<0とならない
つまり、f'(x)の符号の変わり目ができるのは 「y=2axの傾き
2aが曲線y=logxと接するときの傾きより小さくなって、直線と
曲線が交わる場合である」とわかります。
このとき、あるxの値を境にしてlogx>2axとなったりlogx<2ax
となったり、つまり、f '(x)>0となったりf '(x)<0となったり
と符号の変わり目があるということになります。
だから、この条件を満たす境界となるy=logxの接線を求める
わけです。しかも、直線y=2axは原点を通るので、接線のうち
原点を通る接線を求めるわけです。
eは、原点を通るy=logxの接線を計算してみたら、logt=1
が得られたので、これを解いてt=e。結局は接点が(e,1)
だったということです。
(最後は回答になってないような・・eが出てきた理由は★の
計算にもあるように、logexが関係したからとしか・・)
No.1
- 回答日時:
y=2ax は(0,0)を通ります。
グラフを書いて考えるのが1番わかりやすいと思います。
『x>0 において y=logx と y=2ax のグラフの上下が変化する』
ということは、y=2ax の傾きが、y=logx の接線で原点を通るものの傾きより大きければいい。
もし、傾きが1/eより小さければ、常にy=logx が上になってしまい、上下が変化しません。
ちょうど1/eであれば、1点で接するだけで、上下が変化することはないです。
いわば、交わるためのギリギリのラインです。
なので、1/eより傾きが大きければ(接線の傾きより大きければ)上下が変化すると考えられます。
わかりにくくてすいません。参考にしてみてください。
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