全ての誕生日

確率の問題？で困っています

１年を３６５日とします

知り合いに声をかけて全ての日付の誕生日の方を
揃えようとしたら何人くらいの人に声をかける必要が
ありそうでしょうか？
また９０％の人数（３２９人）を揃えようとすれば
何人くらいに声をかける必要がありそうでしょうか？

という試験ではない仕事上での問題です

答えだけでなく、考え方なども教えてください

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2002/09/05 23:55

　３６５ページあるノートの１ページにひとつづつ、１月１日から１２月３１日までの日付を書いておき、n人の人に誕生日を尋ねて、その人の名前を該当するページに書き込んで貰います。

　まずは手抜きの方法を考えてみました。
　特定のページ（例えば１月１日のページ）にk人の名前が書かれる確率B(n,p,k)は幾らか。
c=1/365として
B(n,c,k)=nCk (c^k)(1-c)^(n-k)　　(nCkはn人の中からk人を選ぶ組み合わせの数(combination)です。）
だからk=0の場合の確率は
B(n,c,0) = (1-c)^n = (364/365)^n
です。どのページでも0人になる確率は同じだから、0人のページの数は 365((364/365)^n) 程度ある、ということになります。
　逆に、m通りの誕生日を集めようとすれば
365((364/365)^n) = 365-m
をnについて解いて
n = ln((365-m)/365) / ln(364/365)
から何人ぐらいに声を掛けることになるかが計算できます。m=329の場合、n=844.3
　じゃあm=365だったら、というと、ln((365-365)/365) = ln(0) は定義されません。なんでこうなるかって、何人集めようが白紙のページが生じる確率は0にはならないからです。
　しょうがねえから
m=365-0.5で計算しますと、n=2403.2
m=365-0.1で計算しますと、n=2989.8
m=365-0.01 にした場合は、n=3829.1
と出ます。これは「3829人に訊いても365通り全部が揃わないなんてことは100回に1度ぐらいしか起こらない」ってことですね。

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　んじゃ、まともに正確に確率分布を出してみるとどうなるか。
　こう考えてみました：試行１回につき、等確率で発生するN通りの事象がある。独立な試行をn回行った場合に丁度m通りの事象を見出す確率Q(n,m)は幾らか？
　リスクを割り出すには、n回やっても目標である(m+1)通りに届かない確率
P(n,m)=Σ{j=1～m}Q(n,j) (Σ{j=1～m}はj=1～j=mについての総和の意味です）
を知る必要があるでしょう。
　この問題では、「等確率で発生するN通りの事象」ってのは誕生日のことで、つまりN=３６５通りの事象がある。そして、n人に尋ねて高々m通り揃う確率をP(n,m)とする。

以下c=1/Nと略記します。n>0について
P(n,0)=0
m≧nのとき　　P(n,m)=1
n＞m＞0のとき P(n,m)=mc(P(n-1,m)-P(n-1,m-1))+P(n-1,m-1)
という漸化式は自明でしょう。ここで(P(n-1,m)-P(n-1,m-1))ってのは「(n-1)回試行したとき丁度m通りの事象を得る確率」ですね。
すると
P(n,1)=c^(n-1)
P(n,2)=(2^(n-1)-1)c^(n-2)-(2^(n-1)-2)c^(n-1)
と、ここまではカンタンですが、あとはちょっと手計算じゃ手に負えない。で、一般に
P(n,m) = Σ{j=1～m}V(n,m,j)c^(n-j)
という形になりますから、cの多項式の整数係数V(n,m,j)を求める漸化式が得られれば良しとしましょう。
V(n,1,1)=1
V(n,n,n)=1
j<nならばV(n,n,j)=0
です。さて、
P(n,m)=m(cP(n-1,m)-cP(n-1,m-1))+P(n-1,m-1)
=Σ{j=1～m}m(V(n-1,m,j)-V(n-1,m-1,j))c^(n-j)+Σ{j=2～m}V(n-1,m-1,j-1)c^(n-j)
だから
V(n,m,0)=0
と決めておきますと、
V(n,m,j)=m(V(n-1,m,j)-V(n-1,m-1,j))+V(n-1,m-1,j-1)
となります。V(n,m,j)をjを成分の添字とするベクトル
V(n,m,*)= V(n,m,1),V(n,m,2),…,V(n,m,m)
とみなして書いてみますと
V(3,2,*) = -1, 3
V(4,2,*) = -6, 7
V(4,3,*) = 6, -11, 6
V(5,2,*) = -14, 15
V(5,3,*) = 36,-60,25
V(5,4,*) = -24,50,-35,10
V(6,2,*) = -30, 31
V(6,3,*) = 150,-239,90
V(6,4,*) = -240,476,-300,65
V(6,5,*) = 120,-274,225,-85,15
V(7,2,*) = -62,63
V(7,3,*) = 540,-840,301
V(7,4,*) = -1560,3010,-1799,350
V(7,5,*) = 1800,-3990,3101,-1050,140
V(7,6,*) = -720,1764,-1624,735,-175,21
てな感じです。

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　なんだかもうちょっとこう、実用性のある計算方法はないもんでしょうかねえ。

No.8 回答者： kony0 回答日時： 2002/08/23 21:29

ぎゃぁ329人ですね・・・（汗）

もう、全面的に、No.6のqueschanさんの回答を見ちゃってください．
私が書きたかった解法を、まさに丁寧にかかれています。^^

No.7 回答者： kony0 回答日時： 2002/08/23 21:23

ちょうど(n-1)個目の誕生日が出現したとき以降、n個目の誕生日が出現するまでに声をかけた人数をXnとする。

Xnは出現確率1-{(n-1)/365}(=pと書きます)の幾何分布に１を加えたものであるから、E(Xn)=1p+2qp+3q^2*p+...=1/p=365/(366-n)

求めるものはΣ(n=1~365)E(Xn)およびΣ(n=1~324)E(Xn)

前者は、365*(1/1+1/2+...+1/365)=2365
後者は、365*(1/42+1/43+...+1/365)=794

結果的にNo.3のintruderさんと同じ回答かと思います。

説明不足は否めません。ごめんなさいっ^^;

No.6 回答者： queschan 回答日時： 2002/08/23 21:18

まず、k種類の誕生日の人がいる状態から新しい誕生日の１人を見つけるのに

何人集めないといけないかの期待値を求めます。

ｘ人で新しい誕生日の人が見つかる確率は
　(k/n)^(x-1)*(n-k)/n
なので、期待値 E_k は
　E_k = (n-k)/n*Σx(k/n)^(x-1)　　　　　　（Σは 1≦x＜∞ の範囲での和）
　　　= (n-k)/n*{1-(k/n)}^(-2)
　　　= n/(n-k)
となります。

したがって、全ての誕生日の人がそろうまでに声をかけなければならない人数の期待値は
　ΣE_k = nΣ(n-k)^(-1)　　　（0≦k≦n-1）
　　　　= nΣ(1/k)　　　　　　（1≦k≦n に逆から番号付け替え）
となります。

具体的には、n=365 のとき
　365*(1 + 1/2 + … + 1/365) = 2364.6 人
という結果になりました。
また、329人の場合は
　365*(1/37 + 1/38 + … + 1/365) = 840.9 人
となり、どちらも harisenbon さんの結果となかなか良い一致を見せています。

No.5 回答者： noname#12673 回答日時： 2002/08/23 18:23

実際には無いことですが、Ｎｏ３の方のように「全ての誕生日で同じ確率で人が生まれているものと仮定します。

」

確率をそのまま計算しようとしても、2人目が１人目と被った場合と被らなかった場合で、３人目の誕生日が被る確率が変わるので、簡単にはいかないと思います。

問題は、３６５個の誕生日が揃うのに必要なnの数ですから、nを既知の値として式の中に入れているのはちょっとまずいんじゃないかな？と思います。

私も計算式を考えてみましたが、上手く思いつかないので、簡単なシミュレーションをプログラムで組んでみました。１から３６５までの整数が全て出てくるまでnをカンウトアップしていくというものです。１０００回やった結果は
算術平均　2347人(中央値　2277人：大きい順に並べた真ん中の値。)
最小値　1455人
最大値　4690人
標準偏差　440.1人(四分位幅　554人：大きい順に並べて上から1/4番目の人と3/4番目の人の値の差)
でした。ヒストグラムを書いてみたら、数の大きい方に裾を引いている対数正規分布のような形でした。
一万人に聞いても３６５日分が100％揃うとはいえないので、こういう形になったと思います（対数正規分布の例でよく使われるのは、個人の所得額の分布です。）

329種類の誕生日が揃うまでにかかった人数のシミュレーションもやってみました。やりかたは上の条件をちょっと変えただけです。
算術平均　841.6人(中央値　839人）
最小値　694人
最大値　1023人
標準偏差　50.0人(四分位幅　67人：）
こちらのヒストグラムは正規分布に近い形になりました。

これだけみても、全種類そろえるというのはどれだけ大変かわかります。
誕生日の発生を、等確率でなく統計情報などを利用して設定すれば、もっと現実的な値になると思います。

No.4 回答者： Singollo 回答日時： 2002/08/23 16:44

母集団(知り合い)の総数と誕生日のばらつきによると思います

たとえば、母集団が364人以下なら、逆立ちしても365人は揃わないわけです
各日付を誕生日とする人間がn人ずついる母集団だとすると、声をかけた人間の誕生日の数の期待値が365通りに達するのは364*n+1人に声をかけた時点です

No.3 回答者： intruder 回答日時： 2002/08/23 16:26

全ての誕生日で同じ確率で人が生まれているものと仮定します。

１人目は、３６５／３６５の確率で誕生日が重複しません。
２人目は、３６４／３６５の確率で誕生日が重複しません。
３人目は、３６３／３６５の確率で誕生日が重複しません。
４人目は、３６２／３６５の確率で誕生日が重複しません。

これを３６５人まで繰り返して、逆数を求めた上で３６５をかければ良いのではないでしょうか？
３２９人だと、その途中までということで。

あまり自信はないのですが、精一杯考えてみました。

No.2 回答者： noname#4242 回答日時： 2002/08/23 16:25

n人の誕生日がすべて異なる確率(p)は計算式で表すと

P=(1-1/365)(1-2/365)…(1-1-n/365)
になりますが。これはあくまでも数学的（？）なことです。
こうやって考えれば、ｐを１００パーセントにすればいいわけですねぇ。
実際問題としては、生まれ年によっても違うだろうし、声をかける集団によっても違ってくるだろうし、何とも言えません。
では。

No.1 回答者： marimo_cx 回答日時： 2002/08/23 16:02

本当に単純な確率で語れる問題なのでしょうか？

通年妊娠可能であっても人間にも発情期は無くはありません。

まずは月別出生率の統計情報が必要になると思います。
しかし、ミレニアムベビーが流行したように、人間の出生は発情期以外にも社会的要因があって難しいと思います。