金属を熱した時のエントロピー変化

熱容量が1.75J/kgの金属1kgを0度から500度まで、
500度の金属炉に入れて加熱した時の金属のエントロピー変化と、
電気炉自身のエントロピー変化を求める問題なのですが、
やり方自体がわかりません。
答え欲しさで丸投げはいけないのは知っていますが、
解き方だけでいいので教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.6 回答者： c80s3xxx 回答日時： 2007/10/15 12:33

No.2 です．

No.5 さん，フォローどうも．
可逆的と近似，はまずいですね．

要はエントロピーは状態量なので，始状態と終状態を明確にし，その間を可逆経路で結べばいいということで．
金属については比熱を温度で積分すれば終わり．
電気炉の方は，始めと終わりで結局状態は同じなので，変化なしではないのかと．
で，全体としてエントロピーがどうなっているか，それで不可逆性の話に続ける展開なんじゃないのかと想像するんですが．

No.5 回答者： 101325 回答日時： 2007/10/13 11:43

私はNo.2さんの回答の方が良いと思うのですけど、少し分かりづらいかなとも思いますので、補足します。

熱容量を C とすると、q(rev) = C dT より dS = C dT/T となりますので、これを積分すると

　ΔS ＝ ∫C dT/T ＝ C∫dT/T ＝ C ln(Tf/Ti)

となります。Ti は始状態の絶対温度、Tf は終状態の絶対温度です。

金属のエントロピー変化 ΔSmetal は、この式から求まります。
電気炉のエントロピー変化 ΔSoven は、電気炉の熱容量 Coven が不明ですので、さらに仮定をふたつ置いてから求めます。

仮定１．電気炉の熱容量が金属の熱容量よりずっと大きいので、電気炉の温度変化は小さい。
仮定２．よそからエネルギーを貰わない。

そうすると、

ΔSoven
　＝ Coven ln(Tf/Ti)
　＝ Coven ln{(Toven＋ΔToven)/Toven}
　＝ Coven ln(1＋ΔToven/Toven)
　≒ Coven ΔToven/Toven
　＝ (電気炉が金属から貰った熱量)/Toven
　＝ －(金属が電気炉から貰った熱量)/Toven

となりますので、金属が電気炉から貰った熱量から、電気炉自身のエントロピー変化を計算することができます。

エントロピーは状態量なので、始状態と終状態が決まっていれば、過程が可逆であっても不可逆であっても、原理的にはエントロピー変化を計算することができます。不可逆過程のエントロピー変化については、同じ終状態に導く可逆過程を考えて、その可逆過程に沿ってエントロピー変化を計算します。じつはここには近似は入っていないので、「熱の伝わりが可逆的と近似できる」という表現は、少なくとも教育的には、問題があります。おそらくNo.3さんは、そこに引っかかりを感じたのではないでしょうか。

それよりも私は、「よそからエネルギーを貰わない」という仮定が今の場合につかえるのかどうか、の方が気になります。
電気炉は発電所から貰った電力量を熱に変換して金属に与えているだけ、と解釈すれば、電気炉自身の温度は変化しませんので、電気炉自身のエントロピー変化はゼロになります。

あと、金属の比熱容量が 1.75J/kg/K というのは、数値的におかしいので、問題文を確認された方が良いと思います。

No.4 回答者： T-gamma 回答日時： 2007/10/12 22:52

急いで入力したので、結構誤字脱字がありました…。

「Ｗ≒０のみなせるとすると」
→「Ｗ≒０とみなせるとすると」
「“周囲のエントロピー変化”っを考えるときに」
→「“周囲のエントロピー変化”を考えるときに」

あと、No1さんの使っているΔＱは金属の得た熱量であるので、、今回私が使った電気炉が得た熱Ｑとの関係は
Ｑ＝－ΔＱ
です。

蛇足なことを言うのであれば、個人的には熱量にΔを付けるのはあまりよい表現ではないと思いますが、ときどき大学の先生や入試参考書で使われている表現なので強くは否定できまません。

No.3 回答者： T-gamma 回答日時： 2007/10/12 21:45

No.1さんとNo.2さんの回答に補足です。

結論から言うとNo.1さんの回答が正解です。
No.2さんの回答は「金属のエントロピー変化」を求めるのであれば正解なんですが、今回は「電気炉自身のエントロピー変化」を求める必要があります。
しっかり説明しておくと、エントロピー変化は可逆過程でのdq/Tを積分することによって得れるわけですが、今回の過程は不可逆過程です。よって本来は熱量からエントロピーは計算できません。
しかしながら、電気炉が金属に対して非常に大きなものであると仮定し、金属間との仕事のやり取りＷがＷ≒０のみなせるとすると、
ΔＵ＝Ｑとなり、Ｑは状態量として扱えます。（電気炉にとってのみであり、金属には使えない近似です）
従って、今回の変化を可逆的に行ったときに電気炉の得る熱Ｑrevと今回に得た熱ＱはＱrev＝Ｑの関係にあります。
ゆえにΔＳ＝Ｑrev/T=Ｑ/T
となり、この場合に関しては不可逆過程にもあるに関わらず、やり取りした熱量からエントロピー計算できます。
これはいわゆる“周囲のエントロピー変化”っを考えるときに用いられる方法ですが、電気炉が周囲とみなして解いた場合はこうなります。

No.2 回答者： c80s3xxx 回答日時： 2007/10/12 21:03

熱の伝わりが可逆的と近似できるとして，

熱力学的エントロピーの定義 dS = q(rev)/T
を温度変化について積分すればいいだけです．

No.1 回答者： connykelly 回答日時： 2007/10/12 18:30

>答え欲しさで丸投げはいけないのは知っていますが、

解き方だけでいいので教えて頂けないでしょうか？

0℃(273K)の金属は500度の金属炉から熱量△Q（=熱容量×(500+273))を受け取ることになりますね。だからエントロピーの変化は△S=△Q/T=△Q/273。また500℃の金属炉は△Qの熱量を放出する(-△Q)ことになりますから、そのエントロピーの変化は△S'=-△Q/T'=-△Q/(500+273)として計算すればいいのではないでしょうか。