背理法

x、y、z∈Rのとき、x+y>z、y+z>x、z+x>yならばx、y、zは
全て正の数となる。
(1)この命題を否定せよ
(2)背理法を用いて示せ

この問題について教えてほしいです。
(1)ある実数x、y、zにおいて、x+y>z、y+z>x、z+x>yでないならば
　x、y、zは正の数ではない。
(2)x、y、zは全て正の数でないと仮定する。すなわち負の数であると考
　えると…　この後どのようにすればよいかわかりません。
(1)、(2)ともども何かご指導よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： 0lmn0lmn0 回答日時： 2007/10/25 12:55

(1)ある実数x、y、zにおいて、

　x+y>z、y+z>x、z+x>y　（ならば）
　x、y、zの内（少なとも一つは）正の数ではない。

　＾＾＾＾＾＾
　元の命題をそのまま証明すると。
　　x+y>z、<1>
　　y+z>x、<2>
　　z+x>y、<3>
　<1><2>の辺々加え変形して、y>0・・・Ａ
　<2><3>の辺々加え変形して、z>0・・・Ｂ
　<3><1>の辺々加え変形して、x>0・・・Ｃ

(2)背理法
x、y、zの内（少なとも一つは）正の数ではないとすると、
Ａ、Ｂ、Ｃに反して矛盾。

　＾＾＾＾＾
　無理に書いただけで、
　この問題は、背理法は有効ではないと思います。

No.5 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/25 20:54

「ＡならばＢ」の否定は、

「必ずしも「ＡならばＢ」とは限らない」
つまり、
「Ａであって、Ｂでないものがある」
「Ａを満たし、かつＢを満たさないものがある」
です。

ですから、(1)は、
●x、y、z∈Rのとき、x+y>z、y+z>x、z+x>yであって、x、y、zが
「全て正の数」とはならないものがある。
つまり、
●x、y、z∈Rのとき、x+y>z、y+z>x、z+x>yであって、x、y、zのうち少なくとも一つは０以下であるものがある。
すこし砕いて、
●ある実数x,y,zの組で、x+y>z、y+z>x、z+x>y　をみたし、かつx,y,zのうち少なくとも一つは０以下であるものがある。
または、
●x+y>z、y+z>x、z+x>y　かつx,y,zのうち少なくとも一つは０以下であるような、実数x,y,zの組が存在する。・・・★

表現を微妙に変えたものはいくらでも出来ます。正しければどれでもＯＫです。

(2)x,y,zに大小を導入して考えるといいでしょう。
つまり、★を仮定したうえで、
ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性を失わないので、そうすると、
★から、「ｘ≦ｙ≦ｚ かつ ｘ＋ｙ＞ｚ かつ ｘ≦０」
これが矛盾することはすぐ分かるでしょう。

※ちなみに、ｘ≦ｙ≦ｚ とすると、
ｘ＋ｙ＞ｚ , ｙ＋ｚ＞ｘ , ｚ＋ｘ＞ｙ のうちで、一番条件が強いのは、
ｘ＋ｙ＞ｚ（小さい二つの和が、一番大きいものよりも大きい）
であり、他の二つはこれに納まります。
それは、二番目の ｙ＋ｚ＞ｘ は自明ですし、
三番目の ｚ＋ｘ＞ｙ も、ｘ＋ｙ＞ｚ から簡単に導かれるからです。
（ｚ＋ｘ ≧ ｙ＋ｘ ＞ ｚ ≧ ｙ　証明終）

長くなりましたが以上です。

No.4 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2007/10/25 13:05

No.1です。

すみません、もう一箇所訂正します。

誤：（２）6行目
y=<0、y=<0と仮定しても同様

正：y=<0、z=<0と仮定しても同様

ちなみに「AならばB」の否定は「AならばBでない（Aならば￢B）」となります。
この問題は（１）で背理法に用いる仮定を書かせて（２）で（１）が間違っていることを示すという問題なのかなと思います。

No.2 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2007/10/25 12:06

No.1です。

一箇所訂正です

誤：（２）3行目
条件式の1と2から

正：条件式の1番目と3番目から

No.1 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2007/10/25 12:03

まず「全て成り立つ」の否定は「どれか一つは成り立たない（反例になる）」ですので

（１）
x、y、z∈Rのとき、x+y>z、y+z>x、z+x>yならばx、y、zの少なくともいずれか一つは正の数ではない（0以下である）

（２）
（１）を仮定する
x=<0とする
条件式の1と2から
x>z-y、x>y-z
z、yがいずれの実数であってもz-y、y-zのうちのどちらかは0以上になるので必ずどちらかの不等式が成立しない
y=<0、y=<0と仮定しても同様
よっていずれの数が0以下であっても矛盾が生じる
よって（１）は間違い
よって「x、y、z∈Rのとき、x+y>z、y+z>x、z+x>yならばx、y、zは全て正の数となる。」が正しい

だと思います。