出産前後の痔にはご注意!

教えて下さい。
二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
どういった方法があるのでしょうか?
公式などあるのでしょうか?
例えば、
(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?
よろしくお願いします。

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円周の求め方」に関するQ&A: 円周率の求め方

A 回答 (7件)

>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、


二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
2点間の距離>2Rの時は解が無い
2点間の距離=2Rの時は解は重解で2点を結ぶ線分が円の直径となる。
 円の中心は2点を結ぶ線分の中点が円の中心になります。
2点間の距離<2Rの時は
 2組の解の座標点が円の中心になり、円の中心は2つ存在します。
 この場合の円の中心は、(1)と(3)を(x,y)の連立方程式の解ですが、
 公式とするには式が長く複雑すぎます。
 個別の点が与えられたら、その都度、(1)と(3)から連立方程式を解いて
 円の中心座標の解を求めた方がよいでしょうね。

>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
>半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?

2点間の距離
 =√(((14.50200 - 10.34600)^2) + ((46.81100 - 38.57600)^2))
 = 9.2242919

一方、円の直径=4.61200*2=9.22400
2点間の距離の方が円の直径より大なので不可能です。

もし、
>>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)
2点を直径とする円なら、円の中心(x,y)を求める式は
x=(14.502+10.346)/2=12.424
y=(46.811+38.576)/2=42.6935
で計算できます。
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No.2の方の説明を具体的に。


(x-14.502)^2+(y-46.811)^2=4.612^2・・・・1
(x-10.346)^2+(y-38.576)^2=4.612^2・・・・2
の連立方程式を解きます。その解が求める円の中心の座標になると思います。(2個ある)

実際に計算していませんのでわかりませんが、No.5の方が言われるように解がないかもしれません。微妙な数値だと思います。
想像ですが、ひょっとするとこれらの数値はわずかな誤差を含んでいて、実はこの2点間の距離がピッタリ与えられた半径の2倍と等しいのではないでしょうか。もしそうなら1と2の円は接しているということですので方程式の解は1個ということになり、その場合接点が求める中心です。
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この例の座標では、2点間の距離が


9.224291897・・・
1/2が4.612145・・・となるので、半径より大きくなって
しまいますが。
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>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、


>半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?

「中心点P半径Rの円とは、点Pからの距離がRの点の集合」です。

「点Aと点Bを通る、半径Rの円の中心点」は「点Aから距離Rの点、点Bから距離Rの点」です。

「点Aから距離Rの点」とは「点Aを中心とした半径Rの円」です。

「点Bから距離Rの点」とは「点Bを中心とした半径Rの円」です。

つまり「点Aから距離Rの点、点Bから距離Rの点」とは「点Aを中心とした半径Rの円と、点Bを中心とした半径Rの円の、交点」です。

なので「点Aを中心とした半径Rの円と、点Bを中心とした半径Rの円の、連立方程式を解けばよい」です。
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こんにちは。


2つの2次方程式を解くだけです(二元連立二次方程式)。
ただし、中心点の比だけが出てきます。

しかしながら、円の中心を求めるためには、本来は3点なければなりません。
2点と距離とだけで求められるのは、線分の2等分線の位置だけなのです。

前にも質問がありましたよね?
空間の場合には、3点と距離だけで求められるのは、空間を2等分する平面の位置だけになります。

なぜならば、中心点は定数項です。それに対して、X座標、Y座標は変動点です。連立方程式の場合には、変数項+1の固定解が無いと求められません。なぜかについては、ゲーデルの不完全性原理及び完全性原理を学んでみてください。
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通るのは円周部分ですよね?



原点を中心とする円は、
x^2 + y^2 = r^2
と表されます。

一方、求める円の中心は、与えられた二点を中心とする、それぞれ半径Rの円周上にあることが必要十分条件ですから、この2つの円の交点を求めることになります。

すなわち、与点を中心とする円を上の式を使って表し、xとyを共通として式を解けば解は求まります。
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計算は面倒なのでしませんが、



二等分線の求め方はわかりますか?
円の中心は必ずこの線上にきます。

中心のX座標を適当な文字で置き、
二点間の距離=半径の式を解けばできるハズです。
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(できれは、展開後の式を教えて頂けますでしょうか。)よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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下さい。直線Lの傾きm'はー1/m(直線の直行条件より)であり、これがMを通るの
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Q2点を通る半径rの円の中心の座標

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Aベストアンサー

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+(y-c)^2=r^2
2式の差を計算して整理すると、
2ax+2(b-c)y-(a^2+b^2-c^2)=0
(ちなみにこれは、2点を結ぶ線分の垂直二等分線の式になります)
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QX、Y座標上にある2点間の円弧の距離

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Aベストアンサー

回答は出ていますので考え方の補足まで、
原点(X,Y)=(0,0)とする円の方程式は(1)で与えられます。
X^2+Y^2=r^2 ・・(1)
与えられた2点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径r=√(5^2+10^2)=√(125)
=5√5
命題は、与えられた2点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の2点と中心(0,0)を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ(円の半径)を(5√5)とする
二等辺三角形になります。
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(ピタゴラスの定理の変形を利用します。)
√{(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2}・・(2)
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わかります。
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=√(125-50/4)=(5・3√2)/2
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この三角形の頂角の2倍として、アークtanで表すと、
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となり、Θをラジアンにすれば円弧の長さは以下で求まります。
2πr×(2×arctan(1/3))/2π
=(5√5)×(2×arctan(1/3))
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cosΘ=0.8 からΘ=arccos(0.8) で出ます。
角度をラジアンにすれば
円弧の長さは以下で求まります。
2πr×(arccos(0.8))/2π
=(5√5)×(arccos(0.8))
以上 補足まで

回答は出ていますので考え方の補足まで、
原点(X,Y)=(0,0)とする円の方程式は(1)で与えられます。
X^2+Y^2=r^2 ・・(1)
与えられた2点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径r=√(5^2+10^2)=√(125)
=5√5
命題は、与えられた2点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の2点と中心(0,0)を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ(円の半径)を(5√5)とする
二等辺三角形...続きを読む

Q2点と半径から、中心座標と円弧を描く方法

標記件、以下を満足させる式はどのように導けばよろしいでしょうか?ご教示下さい。

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どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 No.1 さんのご回答における代数的な部分を、若干修正します。

 与えられた2点を A(a_1, b_1), B(a_2, b_2) とします。
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(x - p_1)^2 + (y - q_1)^2 = r^2
(x - p_2)^2 + (y - q_2)^2 = r^2
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QExcelを使用して円弧の半径を最小二乗法で求めたい

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最小二乗法でその半径を計算したいのですが、Excelで計算できるでしょうか?

Aベストアンサー

できます.ソルバーを使います.

メニューの「ツール」の中に「ソルバー」がなければ,
まず,メニュー→「アドイン」で,ソルバーにチェックをつけて,OKをクリックし,指示に従って操作すると,ソルバーがインストールされます.その際,office等のCD-ROMが必要です.

さて,メニュー→「ツール」→「ソルバー」を選択すると,ダイアログが開きます.
・目的セル
・目標値(最大値,最小値,値)
・変化させるセル
などの項目があります.今はこのダイアログは閉じて,これにあったセルをまず用意しましょう.

例えば,
   A   B   C  D
1 dx  dy  r
2 0   0   1  ***
3 xi  yi
4 4   2   *  **
5 3   5
6 2   6
7 1   7

のようにします.(等幅フォントでご覧下さい.)
A2からC2はソルバーによって値が変化するので,適当な値を入力しておけばいいです.
データをA4,B4から順に下に向かって入力してください.
C4には,
=sqrt((C4-$A$2)^2+(B4-$B$2)^2)
D4には,
=(C4-$C$2)^2
とし,
C4をC7までコピー,
D4をD7までコピーしてください.
さらに,D2に
=SUM(D4:D7)
とします.もちろん,データ数が多い場合は,D7の7はもっと大きい値になります.

ここまで準備ができたら,あらためてソルバーを起動し,
・目的セルを「D2」
・目標値(最大値,最小値,値)を「最小値」
・変化させるセルを「A2:C2」
として,実行してください.

以上.

できます.ソルバーを使います.

メニューの「ツール」の中に「ソルバー」がなければ,
まず,メニュー→「アドイン」で,ソルバーにチェックをつけて,OKをクリックし,指示に従って操作すると,ソルバーがインストールされます.その際,office等のCD-ROMが必要です.

さて,メニュー→「ツール」→「ソルバー」を選択すると,ダイアログが開きます.
・目的セル
・目標値(最大値,最小値,値)
・変化させるセル
などの項目があります.今はこのダイアログは閉じて,これにあったセルをまず用意しまし...続きを読む

Q円の中心座標ってもとめられますか?

すみません私の頭では無理でしたので、どなたか分かる方いらっしゃいましたら教えてください。
座標上のどこかに円があります。その円周上に等間隔に三点の座標a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)があり、その3つの座標だけが分かるとき、その円の中心座標って求めることはできますか?
座標は円周上に左回りでa⇒b⇒cとあるとします。
出来るだけやさしく解説していただければと思います。
よろしくおねがいします。
※この書き方で質問したいことってわかるでしょうか?

Aベストアンサー

高校数学を使っていいなら、中心の座標が(a,b),半径がrである円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
です。後の説明のために展開しておきますね。
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2
これに3つの点の座標を代入します。
x1^2-2ax1+a^2+y1^2-2by1+b^2 =r^2 …(1)
x2^2-2ax2+a^2+y2^2-2by2+b^2 =r^2 …(2)
x3^2-2ax3+a^2+y3^2-2by3+b^2 =r^2 …(3)

未知数はa,b,rの3つで式が3つなので、この連立方程式は解けます。
それでa,bを求めれば、それが中心の座標です。

実際に解く場合は、この3つの式を引き算して新しい式をつくります。(rとa,bの2乗の項を消すことができます。
(1)-(2) 2(x2-x1)a + 2(y2-y1)b = (x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2) …(4)
(1)-(3) 2(x3-x1)a + 2(y3-y1)b = (x3^2-x1^2)+(y3^2-y1^2) …(5)
※別に(2)-(3) でも構いません。
(4),(5)は連立一次方程式なので、解くのは難しくありません。

高校数学を使っていいなら、中心の座標が(a,b),半径がrである円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
です。後の説明のために展開しておきますね。
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2
これに3つの点の座標を代入します。
x1^2-2ax1+a^2+y1^2-2by1+b^2 =r^2 …(1)
x2^2-2ax2+a^2+y2^2-2by2+b^2 =r^2 …(2)
x3^2-2ax3+a^2+y3^2-2by3+b^2 =r^2 …(3)

未知数はa,b,rの3つで式が3つなので、この連立方程式は解けます。
それでa,bを求めれば、それが中心の座標です。

実際に解く場合は、この3つの式を引き算して新...続きを読む

QRの計算式を教えてください。

下記の図面のR部分の計算をおしえてください。

Aベストアンサー

図にある曲線が円弧出るとしたときの曲率半径のことですか。
その前提で答えます。

中心Oから円弧の弦に下ろした垂線の足をH,円弧の端点の一つをAとするとピタゴラスの定理から
OA^2=OH^2+AH^2
となります。

OA=R,OH=R-200,AH=500を入れると

R^2=(R-200)^2+500^2

この方程式を解けばRが得られます。

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q弧から、中心点を求める問題です

緊急を要する質問です。よろしくお願いいたします!

中学数学1年の作図の問題です。

弧が描かれており、その(弧を伸ばしていけば完成するであろう円が有する)中心点を書くというものです。

私は、その弧の両端から、コンパスで適当な距離に×をとり、
同じように上にも×をとって、それをつなげる作図方法かと思いましたが
それだと、できませんでした。

本日夕方までに答えて頂ければ非常に嬉しいです!

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

たぶんこの方法でわかると思いますが、手元に分度器がないので、確証が持てませんでした。
わかりにくかったら申し訳ありません。

孤の始点をAとし、終点をBとする。
AとBを直線でつなぐ。
その中心を点Cとし、孤へと交わるように線ABに対して90度の線を書く。(直線Zとします)
十字の線が完成します。孤と線Zの交点をDとします。

交点DとA、交点DとBを線でつなぎます。
点ABDの三角形が完成します。
この三角形は基本的に線AD=線BDの二等辺の性格をもっています。
(場合によっては正三角形)

角ADCの角度を求めます。
線ADの点Aの場所から、角ADCと同一の角度で孤の内側に直線を引きます。
線Zと交わった場所が円の中心点となります。
(この交点を仮に交点Yとする)

円の性質として直線DY=AY=BYになる。
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そのため、角ADY=DAY=BDY=DBYとなる。

Q始点、終点の二つの座標と半径からの円弧の長さの求め方。

始点、終点の二つの座標と半径からの円弧の長さの求め方。
こんにちは。数学ずぶの素人です。
座標上に円弧があります。始点、終点の二つの座標と半径が分かっており、これらから円弧の長さを求めたいのですが計算方法が分かりません。
どなたか分かる方、ご教授ください。

Aベストアンサー

円弧の長さLは半径rと中心角θが分かれば、L=rθとして求められます。
中心角θは、始点と終点の距離をaとすると、sin(θ/2)=a/(2r)なので、
L=2r*arcsin(a/(2r))

2点間の距離は分かりますね。
sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)


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