確率の基礎問題・正解はなぜ正解？

http://okwave.jp/qa3586353.html
でアドバイスをいただいたとおり、問題に対する色々な
パターンで解答を考えだしてみたところ、今度は正解で
ない数字が見事に一致してしまい、余計にわからなくな
ってしまいました。

問
サイコロを3回振って3回とも偶数の目が出る確率を求
めよ。（答え・1/8）

でも、実際に自分で考えたら例えば1回投げたときの可
能性が3/6なら、3回投げた場合は9/18＝1/2、と解釈す
ることもできますよね。

別の解き方、例えば偶数の目がでる以外の可能性も考
えて1-3/6×3/6×3/6という解き方をすれば、やっぱり
1/2になってしまいますよね。

他にも見方によっては1/6、1/4など、どうとでも言え
てしまいそうで、なぜ1/8だけが正解扱いなのかわか
りません・・・。よろしくお願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： Charlie24 回答日時： 2007/12/11 15:13

前の質問も読んで、もしかしたら、と思っていたのですが、

出てきた数字に対して、どういう時に加減乗除（特にたし算とかけ算）の
中のどれを使うかということが分からないのではないでしょうか？
基本的に和集合の場合、たし算、部分集合の場合、かけ算を使うのです。
と、書くと余計に難しくなるかもしれませんが。

ベン図ってご存知ですか？（参考URL参照）。
確率とはあることをしてみたところ、ある事柄がどれくらい起こりうるか
というものを表しています。これをベン図で表してみます。
あること…サイコロを1回振る
ある事柄…1が出る
と考えたとき、一番上のベン図でこのことを表すと
Pとなっている緑の部分が1が出たとき、
Pの上に横棒がついているものがそれ以外（つまり2,3,4,5,6が出たとき）
と考えられます。

では同様に2回サイコロを振った場合について図例となっている下の図で
考えます。
あること…サイコロを2回振る
ある事柄P…1回目に1が出る
ある事柄Q…2回目に1が出る
とすると、論理積（左上）と論理和（中央の上）の図の緑の部分は
何を表しているか分かりますか？
左上は1回目が1で、かつ2回目も1、中央の上は1回目or2回目（両方も含む）
で1が出たことを表します。

このように考えると、
2回振って1回目が1で、かつ2回目も1という条件はまず1回目が1でなければ
その条件を満たさないわけで、実際には2回目も1でなければならないので、
さらに制限されてしまいますよね。
このような場合にかけ算を使います。
そして、2回振って少なくとも1回は1が出るという条件の場合、1回目が
1でなくても2回目で1が出ればいいので、条件が甘いですよね。
このようなときにたし算を使います。
ただ、正確に言うと、単純に足し合わせると、重なっている部分
（2回とも1が出たということ）を重複して数えてしまうので、
この分を引く必要があります。

なので、サイコロを3回振って1の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。
という問題では、1回目に1が出なくてもこの条件を満たすことがあるので、
1/6という数字を使う場合、かけ算ではなくたし算が出てきて欲しいのです。
もちろんたし算を使って1/6+1/6+1/6とすると重複して計算してしまう
部分があるので、これを引く必要があります。

確率というのは概念を図で表すと分かりやすくなることがあるので、
今回のベン図や#1さんが出した樹形図、#4さんの出したしらみつぶしなど
分かりやすいイメージをまず作ることが重要だと思います。
式にするのはその後です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞どういう時に加減乗除（特にたし算とかけ算）の
＞中のどれを使うかということが分からない

そう言われてみると、そうなのかもしれません。

＞単純に足し合わせると、重なっている部分
＞（2回とも1が出たということ）を重複して数えてしまうので、

ここがキーポイントということですね!!


皆様、たくさんのコメントをありがとうございました。
もう一度一つ一つの頂いたアドバイスに照らし合わせ、
じっくり考えてみようと思います。ありがとうござい
ました!!

お礼日時：2007/12/11 15:59

No.8 回答者： arukie 回答日時： 2007/12/11 14:30

>1回投げたときの可能性が3/6なら、3回投げた場合は9/18＝1/2

サイコロは６面、その内偶数は３面。
３回投げてもサイコロの６面は変わってはいけない。
サイコロが１８面になるわけないので、9/18はあり得ません。
9/18は3個のサイコロの偶数面／総面数を表しているに過ぎません。

サイコロ1回投げたときの確率は1/2。
2回目投げれば、1/2×1/2となり1/4。
3回目投げれば、1/2×1/2×1/2で1/8となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞9/18は3個のサイコロの偶数面／総面数

１回目に振る→偶数がでる確率は３／６
２回目に振る→偶数がでる確率は３／６
３回目に振る→偶数がでる確率は３／６

こう書くと偶数面／総面数を表す９／１８＝１／２でも
十分答えになるような気がしてしまうのですが・・・。

お礼日時：2007/12/11 15:45

No.7 回答者： postro 回答日時： 2007/12/11 14:20

さいころを振って、１が出る確率は1/6であることは納得されているのですか？

これだって、１が出るか、出ないかの２つに１つだから確率は1/2という考え方だってできる。と思いませんか？
なぜ1/6が正解で1/2が不正解かがわかれば、ご質問のすべてはわかるはずです。
これがほんのちょっと複雑になっただけですから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞１が出るか、出ないかの２つに１つだから確率は1/2
おぉ（@_@;）。そうですね。

えぇーっと、そうして考えた場合、
サイコロを１回振って１がでる確率は１／６だとして・・・
サイコロを２回振って２回とも１がでる確率を求めたい
場合の答えは、１／３６ということでいいのでしょうか。

お礼日時：2007/12/11 15:27

No.6 回答者： Charlie24 回答日時： 2007/12/11 12:49

すみません。

タイプミスです。

> 1-(5/6)^3=91/126

1-(5/6)^3=91/216
の間違いです。

No.5 回答者： Charlie24 回答日時： 2007/12/11 12:36

確率の問題に限らず、数学の問題を解く場合、解釈や視点により

立式化の仕方が変わることはあります。しかし、答えは変わりません。

例えば、前の質問で、
サイコロを3回振って1の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。
という問題がありましたが、
”サイコロを3回振って1の目が少なくとも1回出る”の余事象は
”サイコロを3回振って1の目が1回も出ない”なので、
1-(5/6)^3=91/126
としてもいいですし、
1回目に1が出る場合の確率、2回目に1が出る場合の確率、
3回目に1が出る場合の確率を足して、重複して数えている分を引く
という計算方法でも正解にたどり着きます。

そうすると、答えが変わっている現状を考えると、
1.解釈の仕方がおかしい
2.解釈は正しいけど立式化の仕方がおかしい
のどちらかだと思います。

なので、どのように解釈して、どうしてこのように立式化したのかを
表していただけたらと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞1.解釈の仕方がおかしい
＞2.解釈は正しいけど立式化の仕方がおかしい

そうですね。いつもテキストの解説を読んでいる限り、
必ず自分で考えた式などは、どこかしら落とし穴があ
ります。でも、気づかなかった箇所はたいていやたら
飛躍してたり、とても自力では気づかないような発想
ばかりで「なんで自分のやり方ではだめなのだろう。
なぜそうしないと答えがでないのだろう」とグルグル
悩み通しです。

サイコロを3回振って1の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。

という問題に関してもです。１回振って１の目がでる
確率は１／６ですよね。３回振るのだから、１／６×
１／６×１／６かもしれませんよね。

正しいことがなぜ正しいのかがわからないので、いつ
もグルグル状態なんです。

お礼日時：2007/12/11 14:18

No.4 回答者： DONTARON 回答日時： 2007/12/11 12:18

サイコロを３回投げて出る場合は以下の８通りです。

奇数、奇数、奇数
奇数、奇数、偶数
奇数、偶数、奇数
奇数、偶数、偶数
偶数、奇数、奇数
偶数、奇数、偶数
偶数、偶数、奇数
偶数、偶数、偶数

サイコロを１回振って奇数の出る確率は３/６＝１/２
偶数の出る確率も３/６＝１/２です。
サイコロを３回振って３回とも偶数の出る確率は
偶数、偶数、偶数と出る確率で
１/２を３回掛けたものなので、（１/２）×（１/２）×（１/２）＝１/８です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞サイコロを３回投げて出る場合は以下の８通りです。
この点については、よくわかりました。

でも、実際の問題はもっと数も大きく条件も複雑です
よね。その時にどうやって計算だけで正解不正解を見
極めたらよいのかわからないんです。

お礼日時：2007/12/11 14:00

No.3 回答者： arugrd 回答日時： 2007/12/11 11:53

＞3/6なら、3回投げた場合は9/18

おもしろすぎ

＞解釈することもできますよね。
確率みたいなものが解釈で答えが変わるものなら数学と呼べるはずないのは考えればわかること

＞サイコロを3回振って3回とも偶数
サイコロ３回なら全事象書き出せるでしょう
その中で3回とも偶数になる数をピックアップすればいいだけです
そうすれば3/6を３回掛けなきゃならない意味もわかるかと

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞そうすれば3/6を３回掛けなきゃならない意味

そうです！これがわからないんです！
なんで９／１８はＮＧだってわかるんですか？

お礼日時：2007/12/11 13:59

No.2 回答者： kazkun 回答日時： 2007/12/11 11:45

非常に申し訳ないのですが、分数の計算に立ち戻って、もう一度確認したほうが

良いかと思いますよ。

1回投げた時の可能性が3/6ならば、3回投げたときの可能性は、
(3/6) * (3/6) * (3/6) = (3*3*3) / (6*6*6) となり、
(3*3*3) / (6*6*6) = 27 / 216 で、通分すると
1 / 8 となります。

考え方はあっていますので、頑張ってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

この答えはこの式を使ったらでたってことで、別の式を
使えばこれ以外の答え（数字）がでますよね。それをど
うやって正解不正解と見極めたらよいのかが大きな壁に
なっています。

お礼日時：2007/12/11 13:56

No.1 回答者： maxmixmax 回答日時： 2007/12/11 11:26

樹形図を描いてみれば、

あなたの解釈が間違いだとわかります。

一回目が偶数の場合
　　　偶
　奇　　　偶
奇　偶　奇　偶

一回目が奇数の場合
　　　奇
　奇　　　偶
奇　偶　奇　偶

「偶偶偶」になるのは８通り中１通りだけです。よって1/8.

また「1-3/6×3/6×3/6」これを計算しても1/2にはなりません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞樹形図を描いてみれば
この点については、よくわかりました。

＞「1-3/6×3/6×3/6」これを計算しても1/2にはなりません。
えぇーっと、また新しい不明点がでたのですが、この式を使
えばいいというのも、違うということなのでしょうか。

お礼日時：2007/12/11 13:54