１９の２０乗と２０の１９乗

Question

１９の２０乗と２０の１９乗はどちらが大きいかという問題が試験で出ました。
電卓で計算して、１９の２０乗のほうが大きいことはわかったんです。
でも数学的な証明ができません。
誰かわかった人いたら教えてください。

Nandayer · Accepted Answer

なるべく少ない計算でエレガントに導きたいのですね。
　私が考えた答案は次の通りです。
　　　f(x) = (1/x) * log(x)　　　（ log は自然対数）
とおいて、f(x) を x で微分すると、
　　　f'(x) = (1 - log(x))/x^2
ですから、f(x) は x > e で単調減少です。よって、
　　　log(x^(1/x))
は x > e で単調減少、log は単調増加だから
　　　x^(1/x)
は、x > e で単調減少です。
　したがって、
　　　19^(1/19) > 20^(1/20)
両辺を 19*20 乗して
　　　19^20 > 20^19
になります。

　微分を知らないとわからないところが欠点です。

mmky · Answer

＃１さんおっしゃるように対数とその性質が分れば簡単に判定できます。
簡単な方法
まず何とかの何乗がでれば、すぐ対数に変換します。
（対数は大きな数を小さく見せる方法です。）
大きすぎる数では比較の方法がないので対数を使って小さい数にして
比較するのです。
・・この考えだけ覚えてください、あとで役に立ちますので・・・

19の20乗＝19＾20　
対数表示にに直す。
Log（19＾20）＝20Log19＝20（1+Log1.9)・・（1）
（10の対数なのでLog10＝1　Log19＝Log（10×1.9）＝1+Log（1.9））
20の19乗＝20＾19　
対数に表示に直す。
Log(20＾19) ＝19Log20＝19（1+Log2)　・・・（2）
（1）から（2）を引いてみます。
（1）-（2）＝1+20Log1.9-19Log2　ですね。・・（3）
これがゼロより大きければ（1）は（2）より大きいですね。
そこで、20Log1.9-19Log2　を計算するのです。
ここで極めつけの方法は、対数なんか無視して（*注釈）、
もとの数の掛け算だと考えて（判別手段として）
（20×1.9）-（19×2）＝38-38＝0
だから（3）は1より大きいですね。
それで19の20乗が20の19乗より大きいという証明が出来るのです。

（*注釈：対数の性質利用：対数はもとの非常に大きい数を小さく見せる方法なのですから小さい数の大小の判別にはもとの数をつかってもできるのです。Log2、Log1.9　の数など知らなくてもOKですね。）

蛇足ですが

zabuzaburo · Answer

対数表を用いて良いならば易しい問題です。

19^20と20^19の比較が難しいのは、底が揃っていないからです。
これが12345^67と12345^89なら、数は複雑ですが
底が揃っているので、後者のほうが大きいことは一目瞭然ですね。
どんな数でも共通の底に揃えるための数表が、対数表です。
対数表を参照すれば、
log[10]19 ≒ 1.2788
log[10]20 ≒ 1.3010
です。これはすなわち
19 ≒ 10^1.2788
20 ≒ 10^1.3010
ということを意味します。
これで、指数は半端になってしまいましたが、
底は10という共通の数に揃えられました。
これにより、
19^20 ≒ (10^1.2788)^20 = 10^(1.2788×20) = 10^25.576
20^19 ≒ (10^1.3010)^19 = 10^(1.3010×19) = 10^24.719
と計算されますから、あとは肩の上の数を比較して
19^20 > 20^19であることが分かります。

このように見てみると、底は別に10でなくても何でも良いのですが、 
どうせなら10^●の形にすれば、
桁数まで分かってしまうというオマケがついてくるので、
10進法の世界で数を扱う私たちは底には10を常用するわけです。
この例では19^20は26桁、20^19は25桁であることが判明します。

tak2006 · Answer

すいません＃１の者です。
回答、おもいっきり間違っていました。すいません。

Singollo · Answer

#1の方に横槍ですが、20^19=sqr20^38だと思います

tak2006 · Answer

skepさんは対数を習っているでしょうか？習っているものとして解説します。

１９＾２０(１９の２０乗)＝ａ、２０＾１９＝ｂと置きます。

対数をとると、対数の性質より次の様に式変形できます。

ｌｏｇ（ａ）＝ｌｏｇ（１９＾２０）＝２０ｌｏｇ１９
ｌｏｇ（ｂ）＝ｌｏｇ（２０＾１９）＝ｌｏｇ｛（√20）＾20｝＝２０ｌｏｇ√20

１９＞√20より
ｌｏｇ１９＞ｌｏｇ√20
∴２０ｌｏｇ１９＞２０ｌｏｇ√20
∴ｌｏｇ（ａ）＞ｌｏｇ（ｂ）
∴ａ＞ｂ

よって、１９＾２０＞２０＾１９となり、
１９の２０乗のほうが大きいということが分かります。//

１９の２０乗と２０の１９乗

なるべく少ない計算でエレガントに導きたいのですね。

＃１さんおっしゃるように対数とその性質が分れば簡単に判定できます。

対数表を用いて良いならば易しい問題です。

すいません＃１の者です。

#1の方に横槍ですが、20^19=sqr20^38だと思います

skepさんは対数を習っているでしょうか？習っているものとして解説します。

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