直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に変数変換したとき、
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
となります。
図では、
http://www2.ezbbs.net/07/dslender/img/1202739784 …
となるようですが、
この図でどうして、
dxdy=rdrdθ
と言えるのでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

adfとは」に関するQ&A: ADFとは?

A 回答 (3件)

 ヤコビアンの公式の導出の話というより、直感的・視覚的に納得したいという話だと思います。



 ご質問のURLにあるようにr>0, π/2>θ>0のところで図を描いてみましょう。直交座標系上で
点A: (x,y)=(r cosθ, r sinθ)
点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)
点C: ((r+dr)cos(θ+dθ), (r+dr) sin(θ+dθ))
点D: (r cos(θ+dθ), r sin(θ+dθ))
をプロットしますとナナメの長方形(っぽい)ものになる。でもdr, dθがうんと小さいんで、これは長方形である。この長方形ABCDの面積Sを計算したい。丁寧にこつこつやれば出来ますよ。

 さて、点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)というのは、「rをdrだけ増やした時、xとyがそれぞれ幾らになったか」を表す点です。すなわち点Bとは、(x+(∂x/∂r)dr, y+(∂y/∂r)dr)に他ならない。
 そこで「rをdrだけ増やした時、xはどう変化するか」だけを考えると、
点E:(x+(∂x/∂r)dr, y)
がプロットできるでしょ。辺AEはx軸に平行で、長さが(∂x/∂r)drである。さらに、辺EBはy軸に平行で、長さが(∂y/∂r)drであり、この長さは「rをdrだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表しています。
 同様にして、「θをdθだけ増やした時、xはどう変化するか」と考えると、
点F:(x+(∂x/∂θ)dθ,y)
がプロットできます。ただし(∂x/∂θ)dθは負ですね。辺AFはx軸に平行で、長さが-(∂x/∂θ)dθである。さらに、辺FDはy軸に平行で長さが(∂y/∂θ)dθであって、この長さは「θをdθだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表している。

 すると台形EBDFの面積は((EB+FD)EF)/2
=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)/2
また、
直角三角形ABEの面積は(EB)(AE)/2=(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)/2
直角三角形ADFの面積は(FD)(AF)/2=(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)/2
と表せます。これらを使って△ABDの面積が計算できますね。長方形ABCDの面積Sは△ABDの面積の2倍なので、
S=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)-(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)-(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)
=(∂y/∂θ)(∂x/∂r)drdθ-(∂y/∂r)(∂x/∂θ)drdθ
=((∂y/∂θ)(∂x/∂r)-(∂y/∂r)(∂x/∂θ))drdθ
です。そして、
∂x/∂r=cosθ
∂y/∂r=sinθ
∂x/∂θ=-r sinθ=-y
∂y/∂θ=r cosθ=x
より
S=(x cosθ+ysinθ)drdθ=rdrdθ
です。
    • good
    • 1

>水色部分の面積が


>r drdθ
>であることは分かるのですが、なぜそれは
>dxdy
>と等しいのですか?

座標系が異なるので異なるそれぞれの座標系では長方形の面積になっているわけですね。
その長方形の面積比がrというわけです。
直交座標系では縦軸にy,横軸にxを割り振っています。
極座標系のグラフを直交座標系に重ねて描くため混乱が起こるのです。
形が違うのになぜ面積が等しいかとね。
極座標系を横軸にθ、縦軸にrを割り振るとdrdθは極座標系の長方形の面積になっているわけです。直交座標系における長方形の面積と極座標系のrθ直交座標での長方形(直交座標系では扇形のような形になる)の面積の比がrになっている分けです。
直交座標系の面積素dxdyと極座標系の長方形の面積素drdθの間の比が
rなので、
dxdy=r drdθ
とそれぞれの面積素の間の関係になっているわけです。

一般的には(x,y)座標系から(u,v)座標系に座標系の間の変数変換をすると
面積素の比がヤコビアンとなることが計算から出てくるのです。
詳しくは参考URLの変数変換の所を参照して下さい。

直感的には、同じ積分領域を埋めつくせば言い訳で、微小な正方形のタイルdxdyを使うか、微小な扇型のタイルdrdθを使ってもいいわけです。
そのタイルの間の微小な面積比がrでそれをかけてやれば面積素が等しくなるというわけですね。
直交座標と他の座標系の座標変換についても、面積素の変換係数のヤコビアンをかけてやれば、面積素間の関係式が成り立つわけです。
少し参考URLをご覧になってそういった意味を考えて見てください。
難しい式や定理が出てきますが、簡単に考えれば上に説明したようなことになります。
同じ座標平面に面積素を乗せるから、面積素の形が違って面積が同じで無いと思うのではなく、それぞれの座標系では直交座標系を構成し微小長方形の面積素のなっていて、その変換係数であるヤコビアンをかけてやれば面積素間の関係式ができるわけですね。異なる座標系の面積素をXY座標系に重ねて描くから混乱してしまうわけです。面積素間の変換係数を使って異なる座標系の面積素を結びつける関係式と考えることになれることですね。

参考URL:http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA …
    • good
    • 0

面積素の長方形の面積は


縦×横
ですから
xy座標では
縦がdy,横がdxで面積素dS=dxdy
ですね。

極座標系では面積素の長方形の面積は
縦×横
ですが
縦をdrとすると微小円弧の横は
rdθ=(半径)×(微小角[rad])
となることがお分かりになりませんか?
dS=縦×横=dr×(rdθ) = r drdθ
となるのです。
面積の単位は(長さ)^2 の次元を持ちます。
dθは弧度法でラジアンの単位がありますが、これは便宜上の単位で
無次元の単位(単位が無いこと)です。
つまり長さの次元を持っていません。

rdθで長さの次元をもつ微小円弧の長さになります。

このようにしっかりと角度の次元(度数法の°や弧度法のラジアン)は無次元の単位であることをしっかりと認識して置いてください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

質問文のサイトにある図で、水色部分の面積が
r drdθ
であることは分かるのですが、なぜそれは
dxdy
と等しいのですか?

お礼日時:2008/02/15 23:41

このQ&Aに関連する人気のQ&A

adfとは」に関するQ&A: ADFとは?

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q福島2号機圧力容器内の圧力の変化

福島2号機圧力容器のなかにどんどん水を入れているようですが、
現在、圧力容器の中の圧力はどの程度なのかの数値は発表されていますか?
1気圧という話もありますが、
もし、1気圧なら、水の粘性を考えると、注水する管の直径よりも大きな穴が開いていると
考えるのが妥当でしょうか?
福島2号機圧力容器の中の気圧の変化を確認できる資料はどこかにありますか?

Aベストアンサー

2号機の現状から見れば、圧力容器は既に壊れて中身が流れ出ていますから
http://www.bloomberg.co.jp/apps/news?pid=90920008&sid=aTpvXNqJMlCk
物理学の知識を持っている人であれば当然予想していたことですが、燃料棒が崩れて原子炉底に溜まって瞬間的な臨界状態を繰り返すことで厚い圧力容器でも時間が経てば穴が開くことが既に起きていると考えられる。

東電と日本政府は確認できていないことは、混乱を避けるために報告はしないという一貫した方針を取っていますから、そのような認識は持っていないと言い張るでしょう。
昨日のテレビ番組で原口議員は極秘で公にできないことがあることを認めています。
これからさらに格納容器のさらなる損傷が起きないことを祈るばかりです。
原子炉事故は収まりつつあると言えるような状態ではなく、さらに進行していると見るべきです。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Qエコキュートの法令上(ボイラー及び圧力容器安全規則)の扱い

エコキュートの法令上(ボイラー及び圧力容器安全規則)の扱いについて知りたく、質問します。具体的には圧力容器として扱われるか否かです。ちなみに貯湯タンクは密閉式です。

店舗兼自宅の給湯設備に業務用エコキュートの導入を検討していますが、設備の業者から「圧力容器としての届出が必要かも」と言われました。エコキュートメーカーに確認してもらいましたが「圧力容器には該当せず必要ない」とのことでした。
これまで使っていた電気温水器は届出が必要であったのに対し、エコキュートは不要ということで、何が違うのでしょうか。

設置後に届出や管理者云々となると面倒ですので、予め把握しておきたく、どなたかご存知の方教えていただけませんか?

Aベストアンサー

ボイラー、圧力容器の規制はそのサイズ、圧力、投入電力量などで決まっていて、単純ではないので、規制対象になる場合もあるし、ならない場合もあります。
(一般家庭用は規制対象外になる範囲の物が普通ですが)

なので単純に電気温水器の場合には対象となりエコキュートでは対象外ということはないのですが、エコキュートの方が投入電力量が少ないので対象外になりやすいのかもしれませんが、こちらは未確認です。

あと、高圧型の場合には従来圧力容器として規制対象だったものが、その後規制緩和で対象外になったりしたことがあるので、ご質問の話もそれに関係しているかもしれません。(つまり設置時期により規制の内容が違う)

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q福島原発2号炉の圧力容器の下部温度が上昇?

度々すいませんが、教えてください。
福島原発2号炉の圧力容器の下部温度が久々に更新され、二倍以上に跳ね上がっています。
2号炉は、高濃度汚染水がタービン建屋でみつかり、圧力容器の底から格納容器へ溶融した燃料が漏れていると推測されていましたが、この圧力容器の温度はさほど高くなく、80度くらいでした。
ところが、今回に温度データは、その二倍以上に跳ね上がっています。
やはり、圧力容器に穴が広がりそこから溶融した燃料が格納容器に溜まり始め、その燃料を冷却しきれなくなっているということなのでしょうか?
これ以外に考えられる説明があれば、教えてください。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

燃料は格納容器に漏れていましたが遂に格納容器内でも臨界になって温度が上がっているのでしょう。
格納容器の底が抜けるのも時間の問題のようです。
トレンチ等への外部への汚染水漏れが今後急激増えたなら、原子炉の閉じ込め機能は完全に失われたと言うことに成りそうです。
何とか食い止めて欲しいのですが格納容器の肉厚は薄いので、さらに収束は困難になりそうです。

Q極座標(r.θ)と直交座標(x.y)の関係を教えてください!

極座標(r.θ)と直交座標(x.y)の関係を教えてください!

Aベストアンサー

極座標は、「原点からの距離:r」と、「原点からその点に引いた直線の、基準線からの角度:θ 」で表わすものです。

同じ点の座標を、極座標(r.θ)、直交座標(x.y)とすれば
 r = √(x^2 + y^2)
 θ = arctan(y/x) (つまり tanθ=y/x ということです)

 x = r * cosθ
 y = r * sinθ

という関係になります。

 x, y の正負で、θ の値が決まります。

Q薄肉円筒形の圧力容器のことで。

薄肉円筒形の圧力容器の強度設計の方法をだれか説明していただけませんか?よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

私もこの前大学で圧力容器の検算やりましたよ。
まあ検算ともなれば安全基準とのからみが出てきて面倒くさいので最低基準ではなしましょう。
まず、内圧:p そして薄肉なので肉厚h<<内径Dとしましょう。
まず、最初に壊れるのは円柱の底辺に平行な方向にこわれます、底辺に垂直な方向に亀裂が入るわけですね。どちらに壊れるかは同じようにすれば求まります。実際に計算すれば2倍の応力の差があります。
検算についてはこの方向についてやればいいでしょう。
まず、輪切りのようにして見ますさらに簡単にする為半円にします、この時の厚さは1にします、簡単に解くため。容器の壁にかかる引っ張り力をF、円筒の直径をD、応力をσとします。
まず、力についてつりあいは
Dp=2F (Dp=F' F'=pA A=D)
応力σ=F/2h
この応力が最低基準となります。安全の最低基準ではないですよ。実際これになると恐らくぶっ壊れるでしょう。設計した場合つかまります。
とまぁ~、長々とかきましたがすんごい分かりづらいですね。
材料力学の本などを見るときの参考にしてください。
そういう専門書なんて大抵分かりにくく書いてありますからねぇ~
力学を習っているなら分かってもらえるとおもいます。

私もこの前大学で圧力容器の検算やりましたよ。
まあ検算ともなれば安全基準とのからみが出てきて面倒くさいので最低基準ではなしましょう。
まず、内圧:p そして薄肉なので肉厚h<<内径Dとしましょう。
まず、最初に壊れるのは円柱の底辺に平行な方向にこわれます、底辺に垂直な方向に亀裂が入るわけですね。どちらに壊れるかは同じようにすれば求まります。実際に計算すれば2倍の応力の差があります。
検算についてはこの方向についてやればいいでしょう。
まず、輪切りのようにして見ますさらに簡単にす...続きを読む

Q|a|=2,|b|=1,a・b=√2 を満たす2つのベクトルa,b,が

|a|=2,|b|=1,a・b=√2 を満たす2つのベクトルa,b,があたえられている時、次の極限値を求めなさい。lim_(x→0) {|a+xb|-|a|}/x
多分間違えていると思いまっすが、|a+xb|^2を |a|=2,|b|=1,a・b=√2を代入して、(x+√2)^2+2 としてみましたが、この後、どうしていいか、まったくわかりません。よろしくお願いします。解答は、√2/2でした。途中式もお願いします。

Aベストアンサー

(|a+xb|-|a|)/x
=(|a+xb|+|a|)(|a+xb|-|a|)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a+xb|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a|^2+2x(a・b)+x^2|b|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(2(a・b)+x)/(|a+xb|+|a|)
=(2√2+x)/(|a+xb|+2)

lim_(x→0)(|a+xb|-|a|)/x
=lim_(x→0)(2√2+x)/(|a+xb|+2)
=√2/2

Q原発の圧力容器内の空気に含まれる放射能の強さは?

福島原発の排気管の近くで10シーベルトという放射能が計測されたことが報道されています。

福島原発のような沸騰水型原子炉では、(メルトダウン時ではなく)定格出力運転時の圧力容器内の空気に含まれる放射能の強さはどのくらいなのでしょうか。

東京電力のホームページ(http://www.tepco.co.jp/fukushima1-np/monitoring/index3.html)に「タービン」と「復水器」が示されていますが、上記の「定格出力運転時の圧力容器内の空気に含まれる放射能」は、この図の「タービン」と「復水器」の位置における水蒸気に含まれる放射能とほぼ同一と思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ちょっと遅い回答ですが、元職として解る範囲で。

今回の事象に関してのことでしょうから、以下のURLを参照されるのがよろしいかと思います。
http://atmc.jp/plant/rad/?n=1

もちろん、運転中(臨界状態)における放射線量はこれより遥かに高い値です。


>東京電力のホームページ
  (中略)
>「復水器」の位置における水蒸気に含まれる放射能とほぼ同一と思います。

概略としてはそう考えられて良いかと思いますが、厳密に考えると少し異なります。


運転中の原子炉圧力容器内部には空気は存在しません。
火力発電のボイラでも同じですが、タービン駆動用の蒸気を発生させる蒸気発生装置(ボイラ、原子炉圧力容器)は、熱を加えている指意味は内部は蒸気及び水で満たされており、空気は全て外部に排出されます。
(主に復水器及びその周辺にある機器類を使って系外に排出します。)

となると、炉内の気体は全て蒸気であり、蒸気(湿り蒸気)に含まれる物質もしくは蒸気と共存できる物質だけが排気管に到達し、そこから大気に放出されることで系外で放射線として検知されるわけです。(そのために一部の物質等は通常ならば外に出ることは有りません。水及び蒸気がある種のシーリング材の役目を果たしている訳です。)

ところが現在は圧力容器も度々大気に開放されており、かつ脱気を行っていない冷却水を大量に投入していますから、炉内には水蒸気と空気(主に酸素?)が共存しており、かつ大量投入による圧力逃がしの影響が排気管にも及んでいる可能性はありますから、通常時(通常の停止時、通常の運転時)よりも高いレベルの放射線が検知される可能性はあります。

また、排気管系統も通常とは違う状態になっている可能性もあります。
通常の(健全な)系統であれば、排気口前にフィルターが設置されており、排気中の放射性物質は基準値以内になるように除染されるのですが、原子炉建屋が破壊された際にこの系統にも被害が及んでいる可能性は高く(報道映像で見る限りは根本から破壊されている様子。)、現在はフィルターが無い状態で排出されているとも考えられます。

これらのことから、現在の値と通常時の値は単純に比較検討できない可能性が高いです。
(絶対値として現在○○放出されているという理解に留める方が正しいであろうということです。)

ちょっと遅い回答ですが、元職として解る範囲で。

今回の事象に関してのことでしょうから、以下のURLを参照されるのがよろしいかと思います。
http://atmc.jp/plant/rad/?n=1

もちろん、運転中(臨界状態)における放射線量はこれより遥かに高い値です。


>東京電力のホームページ
  (中略)
>「復水器」の位置における水蒸気に含まれる放射能とほぼ同一と思います。

概略としてはそう考えられて良いかと思いますが、厳密に考えると少し異なります。


運転中の原子炉圧力容器内部には空気は存在しません...続きを読む


人気Q&Aランキング