座標変換

ｚ軸[001]を[111]へ回転座標変換するやり方がわかりません。
どなたか、教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2008/02/20 17:05

[111] を [001] に移す行列を求め、その逆を取ればよいのですが、

今の場合、長さが 1 から、√(1^2+1^2+1^2)=√3 に変わりますので、
伸び縮みの変換も必要となります。

先ず、z軸の回りに [111] を π/4 回転させ、y-z平面上に移します。
そうすると、 [111] の点の　y座標は √2、z座標は 1 となります。
それを、次に、x軸の回りにある角度回転させ、z軸に合わせます。
その角度は、今分かりませんが、それでも構いません。というのは、
y-z平面における y座標、z座標が分かっていて、その角度をθとすると
sinθ、cosθが分かるからです。

スペースを節約するため、
sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 = a
sinθ= √2/√3 = b、cosθ= 1/√3 = b
と書くことにします。

始めの回転（z軸の回りに [111] を π/4 回転）では、
[ a　-a　 0 ][1] = [0 ]
[ a　 a　 0 ][1]　 [2a]
[ 0　 0　 1 ][1]　 [1 ]

後の回転（x軸の回りにθ回転）では、
[ 1　 0　 0 ][ 0 ] = [0 　　] = [ 0　]
[ 0　 c　-b ][2a]　 [2ac-b]　 [ 0　]
[ 0　 b　 c ][ 1 ]　 [2ab+c]　 [√3]

これらの行列の積は、
[ a　 -a 0 ]
[ ac　ac -b]
[ ab　ab　c ]

これの逆行列は、
[ ac^2+ab^2　　　　ac　　　ab ]
[-ab^2-ac^2　　　 ac　 　ab ]
[ 0　　　　　　　-2a^2b 　2a^2c ]

これらに数値を代入すると、
[ 1/√2　　1/√6　　1/√3 ]
[-1/√2　 1/√6　　 1/√3 ]
[ 0　　　　-√(2/3)　1/√3 ]

これは、1/√3 倍に縮んだものですので、[111]　と合わせるには
√3 倍すればよいのです。