A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
点と直線の距離の公式をラグランジュの未定係数法使って
解けることを知っている
あなたは
もう答えが求まっている
あとは自信と勇気だけだ
この回答への補足
直線 ax + by + c = 0 と 点(x0、y0)の距離Dが
D = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)
で与えられるという公式を、ラグランジュの未定乗数法を用いて導く。
ただし、a^2 + b^2 ≠ 0 とする。
ax + by + c = 0 の条件のもとで、
D^2 = (x -x0)^2 + (y - y0)^2 の最小値を考えればよい。
F(x,y,λ) = D^2 + λ*(ax+by+c) = (x-x0)^2 + (y-y0)^2 + λ(ax+by+c)
とする。
ラグランジュの未定乗数法により、
∂F/∂x = ∂F/∂y = ∂F/∂λ = 0 にすればよい。
計算して、
∂F/∂x = 2(x-x0) + λa = 0
∂F/∂y = 2(y-y0) + λb = 0
∂F/∂λ = ax + by + c = 0
これを解いていくと、
x - x0 = -λa/2 , y - y0 = -λb/2
a(x0 - λa/2) + b(y0 - λb/2) + c = 0
よって、λ = 2* (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2+b^2)
D^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2
= (λ/2)^2 * (a^2+b^2)
= (a*x0 + b*y0 + c)^2/(a^2 + b^2)
よって、
D = | a*x0 + b*y0 + c|/{√(a^2 + b^2)}
が最小値となる。
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