平方数の数字根

ある新書で「平方数の数字根は１，４，７，９のいずれかである」と書かれていましたが何故そうなるのかは書かれていませんでした。

「」内は正しいのでしょうか。
また、証明法はどのようにするのでしょうか。
自分でも考えてみたのですがまったく分からず、また検索をかけてみたのですが解答は見つかりませんでした。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/04/04 23:40

整数 x の数字根を n とします. x と n の間にどのような関係があるでしょうか.

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2008/04/05 00:56

数字an10^n+a(n-1)10^(n-1)+…+a0に対して各桁の和an+a(n-1)+…+a0

はもとの数字より小さいので、この操作を続けて行けば、どんどん減少
して、やがては1桁の数字になる。
10^nの形の数は9で割ると1余るので、
an10^n+a(n-1)10^(n-1)+…+a0とan+a(n-1)+…+a0を9で割った余りは
等しい。
つまり、各桁の数字の和をどんどん取って行っても、9で割った余りは
変わらず、したがって、数字根を求めるには、元の数字を9で割った余
りを求めれば良いことになる。
任意の自然数は、9k+r（k≧0、r=0,1,2,…,8）の形に書ける。
（ただし、0は除外）
これらを２乗して9で割った余りを求めると、0,1,4,7のどれかになる。
（modを知っていれば、modで考えたほうが分かりやすい）
余りが0の場合は9で割り切れるということで、数字根は9である。