分母分子の次数が同じ場合のラプラス逆変換

皆さんよろしくお願いいたします。
次の関数のラプラス逆変換をどのように解いたらよいかわからず困っております。
G(s)=-{(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
ここでjは虚数単位、a,σ,ωは実系数とします。
分母と分子の次数が同じため、次のように部分分数展開しようとすると
分子の次数が合わないため求められません。
G(s)=-(s-a){(s-σ)^2+ω^2}/[(s+a){(s+σ)^2+ω^2}]
=A/(s+a)+{C(s+σ)+Dω}/{(s+σ)^2+ω^2}
この場合どのように部分分数展開し、逆ラプラス変換すればよいのか
ご教示いただければ幸いです。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2008/04/29 16:42

　ANo.2に付けられたコメントについて、またしても横入り御免なすってのstomachmanです。

　お示しの近似式は|s|→∞のとき-1に収束するでしょ。つまりG(s)は|s|がごく小さい時を除いて
G(s)=-1
である。これが-δ(t)が現れる理由です

　G(s)で遅延要素を近似しようとするなら、「近似として有効な範囲を越えたら0に近づく」ような仕掛けを入れる必要があるようです（が、そこまでやったら有理関数ではなくなって、m近似する意味が失われる？）。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2008/04/29 04:36

　横入り御免なすって。

えとですね、デルタ関数が出て来てもちっともおかしくありません。物理的にも、ごく普通にあることです。というのは、「入力を、なんにもしないでそのまんま出力する系」の伝達関数　(modulation transfer function)こそがδ(t)だからです。
　なので、-δ(t)とは「入力の符号を逆にして出力する系」の伝達関数です。
　ANo.2にある部分分数分解（チェックしてませんが）は「３つの項がそれぞれ伝達関数を表していて、これら３つの伝達系が並列に繋がって出来ているのがこの系である」と解釈される。何の不思議もありません。

　一般に、ラプラス変換で表した伝達関数G(s)の分子の次数は、その分母の次数より低い場合もあれば、同じの場合も、高い場合もあります。伝達関数が積分的な作用をする（例えばコンデンサ）なら、分子の方が分母より次数が低い。微分的な作用をする（例えば微分フィルタ）なら、分子の方が分母より次数が高く、この場合は逆ラプラス変換をするとδ関数の微分（微分演算子。これを関数f(t)と畳み込み積分すると、df/dtになる）が出てきたりします。
　そして、一定時間の遅延を掛けるとか、位相を変えるだけの作用をする伝達関数は、分子と分母の次数が同じになる。例えばe^(-Ts)なんてのは次数0で、逆ラプラス変換すればδ(t-T)、つまり遅延を表す伝達関数です。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/04/28 18:35

数式的には

> G(s)=-(s-a){(s-σ)^2+ω^2}/[(s+a){(s+σ)^2+ω^2}]
> =A/(s+a)+{C(s+σ)+Dω}/{(s+σ)^2+ω^2}
=-1+{A/(s+a)}+{C(s+σ)+Dω}/{(s+σ)^2+ω^2}
と部分分数展開されます。

ラプラス変換
∫[0→∞] x(t)e^(-st)dt=-1
となるx(t)は
x(t)=-δ(t)

このδ関数（デルタ関数）は
[Diracのδ関数、インパルス関数]
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3% …
と呼ばれる関数です。
物理現象として無限大の振幅の電圧や電流などの物理量は存在しませんから、それをラプラス変換したs領域で定数項が現れることはありません。
つまりラプラス逆変換の対象となるG(s)の分子は分母よりsの次数が低くてはいけないということです。
あえてG(s)の分子と分母が同じ次数としたため、部分分数展開で定数項が発生し、時間t領域にデルタ関数（∞振幅、幅ゼロの関数、面積１の関数）がラプラス逆変換で発生するのです。

この回答へのお礼

ご回答を頂きありがとうございます。
部分分数展開で定数項を入れることをご教示頂きありがとうございます。
おさっしのことかもしれませんが、小生の質問は、無駄時間要素
をパデ近似(3次/3次)したもののインパルス応答を求めようとしています。

無駄時間要素をe^(-Ls)とすると3次/3次のパデ近似は次のようになります。
e^(-Ls)={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}/{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120}
上式の分母分子の３次式をそれぞれカルダノ法でとくと１つの実根と
２つの虚根（共役複素数）が得られます。
これらを、複素平面上で表わすと分母(極)は左半面、
分子(零点)は右半面で分母分子は左右対称であることから
一般解を実根a、複素根をσ±jωとおき、分子多項式の係数の正負に
注意すると伝達関数は次のようにおけます。
G(s)=-(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)/(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)
インパルス応答g(t)はg(t)=L^-1[G(s)]なので上式の
ラプラス逆変換を求めようとしています。

無駄時間要素のインパルス応答は近似を使わないで求めると
L[f(t-L)]=F(s)e^(-Ls)を利用してg(t)=δ(t-L)となります。
これは、無駄時間Lだけシフトしたδ関数になります。
しかしながら、部分分数展開の過程で-1の項がでるということは、
おっしゃるとおり-δ(t)の項が出てきてしまい。正負反転してしまいます。
小生の求め方にどこか間違った点があるのでしょうか。
ご指摘、ご指導いただければ幸いです。

お礼日時：2008/04/29 14:13

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/04/28 18:29

分子の次数が分母の次数より小さくなるように, 先に分子を分母で割っておく.

でも, 1 を逆変換すると δ(t) になるんじゃなかったっけ? これで意味のある答えになるのかなぁ.