分母分子の次数が同じ場合のラプラス逆変換

皆さんよろしくお願いいたします。
次の関数のラプラス逆変換をどのように解いたらよいかわからず困っております。
G(s)=-{(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
ここでjは虚数単位、a,σ,ωは実系数とします。
分母と分子の次数が同じため、次のように部分分数展開しようとすると
分子の次数が合わないため求められません。
G(s)=-(s-a){(s-σ)^2+ω^2}/[(s+a){(s+σ)^2+ω^2}]
=A/(s+a)+{C(s+σ)+Dω}/{(s+σ)^2+ω^2}
この場合どのように部分分数展開し、逆ラプラス変換すればよいのか
ご教示いただければ幸いです。

No.15 回答者： info22 回答日時： 2008/05/07 10:33

#2,#6,#10,#11,#13,#14です。

A#14の補足質問の回答

>factor関数による因数分解や、partfrac関数による部分分数展開を試みましたが、
うまくいきません。
factor関数は有理係数の範囲での因数分解です。
parfrac関数は有理係数の多項式因数での部分分数展開ですから、factor関数で因数分解できない多項式が分母にくる場合は因数分解できる（できている）分母因数について部分分数展開できると思います。分母を一次式(s-a)、共役複素数の2次式{(s-σ)^2+ω^2}=s^2-2σs+(ω^2+σ^2)の形に因数分解しておいてやれば良いかと思います。

Maximaの場合
分母=0が複素解を持つ場合、数値計算で全ての解を求めるには
algsys([f(s)=0],[s]);
または
allroots(f(s)=0);
のどちらの関数でも求まります。

なお、Mapleでは solve関数で複素解をもつ場合も解けます。

この回答へのお礼

ご解答頂きありがとうございます。
ご教示頂いた関数で、分母の解を求め分母を一次式(s-a)、
共役複素数の2次式{(s-σ)^2+ω^2}=s^2-2σs+(ω^2+σ^2)の
形に因数分解し、分子に4次式を代入してparfrac関数で
部分分数展開を試みましたが、うまくいきません。
無理やり上記の状態でilt関数でラプラス逆変換しましたが、うまくいきません。
本当に質問から外れたものになって申し訳ありませんが、
maximaでのやり方をご存知でしたら、ご教示いただきたくお願いいたします。

お礼日時：2008/05/07 17:43

No.14 回答者： info22 回答日時： 2008/05/05 18:11

#2,#6,#10,#11,#13です。

> ５次以上の高次の解を求めるには、何かテクニックがあるのでしょうか。
L=1,(４次)/(５次)のパデ近似についてもやって見ました。
分母が５次でも数値計算で因数分解でき
exp(-s)～{1-(4/9)*s+(1/12)*s^2-(1/126)*s^3+(1/3024)*s^4}
/{1+(5/9)*s+(5/36)*s^2+(5/252)*s^3+(5/3024)*s^4+(1/15120)*s^5}
分母=(1/15120)*(s+6.286704752)
*(s^2+7.311388650*s+56.18459360)*(s^2+11.40190660*s+42.80667374)
Laplace逆変換して
f(t)=273.3432899*exp(-6.286704752*t)
+31.65360373*exp(-3.655694325*t)*cos(6.543736899*t)
+48.25129152*exp(-3.655694325*t)*sin(6.543736899*t)
-299.9968937*exp(-5.700953300*t)*cos(3.210265598*t)
-136.0845591*exp(-5.700953300*t)*sin(3.210265598*t)

となります。
プロットするとt=1(L=1)にピークが出ますが、t<1でまだかなり振動しますね。

同じくL=1の場合の(５次)/（６次），(６次)/（７次），
（７次）/(８次)，(８次)/（９次）のパデ近似についても分母の因数分解をやってみましたが、数値計算で容易に因数分解ができました。

一般の５次以上の方程式は解けないですが、
係数が有理数のｎ次多項式＝０の方程式は数値計算的に解けるようですね。（一般解の公式は難しいかも知れませんね。）

分母が(s-a)形の因数と{(s-σ)^2+ω^2}形の項の因数の積に因数分解できることから、逆ラプラス変換も数式処理ソフトで容易に求まります。

パデ近似関数の、分母の次数より低い場合について、色々な次数のパデ近似関数についてもδ(t-L）どの位再現できるか、やってみると良いかと思います。

数式処理ソフトのMathmatica、Mapleは多くの大学や高専にライセンス導入されていて大学生や院生なら無料で使えると思います。Mathematicaはスチューデント版が出ていますので学生なら３万円前後で個人で入手できると思います。
またMaximaはフリーソフトですので誰でもネットから入手して使えます。無料ソフトですので非常に長い式などは扱えない制約がありますが、それでも他の有料ソフト並みのことができます。Microsoft　Excelよりずっと使い物になりますので使ってみて下さい。

手計算では時間的な制約が多いので、ぜひ数式処理ソフトを使用してみてください。

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
MathmaticaやMapleは高額すぎて、ちょっと個人では入手困難ですが、
Maximaを入手してみました。その能力にちょっと驚きです。
>手計算では時間的な制約が多いので、ぜひ数式処理ソフトを使用してみてください。
全くそのとおりです。有用なフリーソフトをご紹介頂き大変ありがとうございます。
パデ近似もご教示頂いたやり方で簡単に求めることが出来て感激です。
そのほかの方法については、まだマニュアルと苦戦中です。
ご回答頂いた式を導くことさえできずにいます。
本来の質問とはかけ離れ申し訳ありませんが、もしMaximaのコマンドでの
やり方をご存知でしたらご教示いただきたくお願いいたします。
factor関数による因数分解や、partfrac関数による部分分数展開を試みましたが、
うまくいきません。

お礼日時：2008/05/05 23:16

No.13 回答者： info22 回答日時： 2008/05/03 11:39

#2,#6,#10,#11です。

> 小生３次方程式までしか勉強しておりません。
> ５次以上の高次の解を求めるには、何かテクニックがあるのでしょうか。

計算が大変そうな様子でしたので補足しておきます。

パデが(３次）/(4次）の場合が以下のようにできます。
分母が（５次）以上の場合も分母の１次の因数は
数値計算で簡単に求められますのでそれらを全部分離すればいいですね。
そうすると残りの因数は２次因数の積が残ります。
残りの因数についても共役極の２次式因数を１ずつ数値計算的に抜き出して行けば良いかと思います。（これは回路合成のFoster展開を求めることに相当します）

A#10で挙げた(３次）/(４次)のパデの L=1について逆変換を求めてみました。
数値計算でパデ関数の極の１つを求め、その共役複素数を使って分母の２次因数を求め、分母を強引に因数分解してみると
(s^2+6.425613794*s+33.10449180)*(s^2+9.574386206*s+25.37420013)
となり、ラプラス逆変換すると
f(t)=175.5744076*exp(-3.212806897*t)
*{0.1287378970*cos(4.773087433*t)-0.1420671273*sin(4.773087433*t)}
+162.8013340*exp(-4.787193103*t)
*{-0.1634082433*cos(1.567476419*t)+0.7379759268*sin(1.567476419*t)}
f(t)をプロットすると
t=L=1で正のピークが出ていますがそれ以下のtで振動がありますね、
t＞2.5では殆どf(t)はゼロに張り付きます。

分母が（４次）のパデは上のようにできますが
分母が（５次）のパデは実数の極を持ちますので、その極を数値計算で求めて分離すれば、分母は（４次）になりますので上記の方法で(５次）のパデについても逆変換f(t)を求めるのは難しいことでは無いと思います。

No.11 回答者： info22 回答日時： 2008/05/02 22:15

#2,#6,#10です。

#10の補足質問の回答です。

> どうやったらこれだけ多くの計算を短時間に出来たのでしょうか？

pade近似関数は数式処理ソフトのMaple,Mathmatica,Maximaなどを使えば直ぐ作成します。
例えば、Mapleでは次のようにプログラムを組めばいいですね。
以下は分子が３次、分母が４次のパデ近似を求める例です。
> with(numapprox):
pade(exp(-L*s), s, [3,4]);
結果は
(-4*L^3*s^3+60*L^2*s^2-360*L*s+840)
/(L^4*s^4+16*L^3*s^3+120*L^2*s^2+480*L*s+840)　　 (1)
となります。

同じことをMaximaですると次のようにプログラムをします。
(%i1) taylor(exp(-L*s),s,0,7);pade(%,3,4);
(%o1) 1-L*s+(L^2*s^2)/2-(L^3*s^3)/6+(L^4*s^4)/24-(L^5*s^5)/120
+(L^6*s^6)/720-(L^7*s^7)/5040+...
結果は
(%o2) [-(4*s^3*L^3-60*s^2*L^2+360*s*L-840)
/(s^4*L^4+16*s^3*L^3+120*s^2*L^2+480*s*L+840)]
と出てきます。結果は同じですね。

> 高次にしないと近似が甘くなることも実感できました。
そうでしょうね。
波形の近似、同じ近似精度なら、できるだけ項数を少ない近似法が重要ですね。

> ５次以上の高次の解を求めるには、何かテクニックがあるのでしょうか。
５次以上の方程式は一般的な解法がないことは証明されているようです。
しかし、解の公式はなくても、
sの実係数多項式のゼロ点は、「実数と共役複素数のセットから構成される」ことが証明されているため、これを利用して現実的な極やゼロ点を分離する理論が確立しているかと思います。
色々なフィルター設計論や回路合成論や自動制御の伝達関数設計論で複雑なｓの複素関数合成論が研究尽くされていて、極やゼロ点の最適配置法や部分分数展開法（厳密法法や数値計算による近似法）などの専門書の名著などが出ていますね。もう古典論になっていますので研究テーマとしては取り上げられる事もなくなり、専門書は絶版になっている可能性大ですね。（大学や大学院の単位制の講義には内容が多くて、教科書としてはなじまない為、売れない名著は絶版になる運命にあるのでしょうね。内容のない15回の講義で終わる教科書が多いですね。）
洋書の分厚い古典制御論や回路合成論（複素関数論）などの名著で詳しく扱われていたようですね。今は何でも計算機でリアルタイムの時間領域で制御する現代制御論が主流になってしまった嫌いがありますね。

昔は手計算で計算していたテーラー展開やフーリエ級数展開やパデ関数もパソコンで簡単にあっという間に計算できるようになり、3変数以上の連立方程式はもはや手計算で解くことは無くなりました。

No.10 回答者： info22 回答日時： 2008/05/01 14:54

矩形波f(t)のフーリエ級数展開でも基本周波数の10～20倍以上の項まで加え合わせないと矩形波らしくなりません。

今回はデルタ関数ですから、さらに急峻な変化を伴う波形ですので、加え合わせる項数を増加しないと急峻なデルタ関数を近似出来ません。パデ近似ではフーリエ級数より少ない項数（次数）の整式の有理関数で近似出来ますが、それでも分子、分母の次数を上げないとデルタ関数のような急峻な波形の再生は難しいと思います。パデ近似はマクローリン展開のn項の和と一致する関数でパデ近似の分子と分母の次数の和がnとなる関係にあります。

また、パデ近似の関数も分子の次数が分母の次数より低い近似関数を使うことで、部分分数展開で定数項が発生しなく出来ますので、そういったパデ関数を使ってみるのも一策かと思います。
いずれにしてもラプラス逆変換で時間領域の矩形波が再現できるわけですから、パデ関数の分子、分母の次数をどんどん上げていけば時間領域の波形も再現できるはずです。実用上どこまで分子分母の次数を下げられるかが問題ですね。

「分子の次数＞分母の次数」　のパデ関数（分母の次数が３～６次のもの）を書いておきますので
試してみてください。
[-(6*s*L-24)/(s^3*L^3+6*s^2*L^2+18*s*L+24)]
[(3*s^2*L^2-24*s*L+60)/(s^3*L^3+9*s^2*L^2+36*s*L+60)]
[-(24*s*L-120)/(s^4*L^4+8*s^3*L^3+36*s^2*L^2+96*s*L+120)]
[(12*s^2*L^2-120*s*L+360)/(s^4*L^4+12*s^3*L^3+72*s^2*L^2+240*s*L+360)]
[-(4*s^3*L^3-60*s^2*L^2+360*s*L-840)/(s^4*L^4+16*s^3*L^3+120*s^2*L^2+480*s*L+840)]
[-(120*s*L-720)/(s^5*L^5+10*s^4*L^4+60*s^3*L^3+240*s^2*L^2+600*s*L+720)]
[(60*s^2*L^2-720*s*L+2520)/(s^5*L^5+15*s^4*L^4+120*s^3*L^3+600*s^2*L^2+1800*s*L+2520)]
[-(20*s^3*L^3-360*s^2*L^2+2520*s*L-6720)/(s^5*L^5+20*s^4*L^4+200*s^3*L^3+1200*s^2*L^2+4200*s*L+6720)]
[(5*s^4*L^4-120*s^3*L^3+1260*s^2*L^2-6720*s*L+15120)/(s^5*L^5+25*s^4*L^4+300*s^3*L^3+2100*s^2*L^2+8400*s*L+15120)]
[-(720*s*L-5040)/(s^6*L^6+12*s^5*L^5+90*s^4*L^4+480*s^3*L^3+1800*s^2*L^2+4320*s*L+5040)]
[(360*s^2*L^2-5040*s*L+20160)/(s^6*L^6+18*s^5*L^5+180*s^4*L^4+1200*s^3*L^3+5400*s^2*L^2+15120*s*L+20160)]
[-(120*s^3*L^3-2520*s^2*L^2+20160*s*L-60480)/(s^6*L^6+24*s^5*L^5+300*s^4*L^4+2400*s^3*L^3+12600*s^2*L^2+40320*s*L+60480)]
[(30*s^4*L^4-840*s^3*L^3+10080*s^2*L^2-60480*s*L+151200)/(s^6*L^6+30*s^5*L^5+450*s^4*L^4+4200*s^3*L^3+25200*s^2*L^2+90720*s*L+151200)]
[-(6*s^5*L^5-210*s^4*L^4+3360*s^3*L^3-30240*s^2*L^2+151200*s*L-332640)/(s^6*L^6+36*s^5*L^5+630*s^4*L^4+6720*s^3*L^3+45360*s^2*L^2+181440*s*L+332640)]

ある程度の幅を持った孤立矩形波の場合の伝達関数のラプラス逆変換のパデ近似や同じインパルス応答のパデ近似の分子、分母の次数を増加して行った時の応答の変化を調べることで、どの位のパルス幅の孤立矩形波（三角波でもよい）やパデ近似の分母の次数をどの位取らないとインパルスが再生できないかを調べてみるといいでしょう。

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
しかも６次までのパデ近似、自分はせこせこ連立方程式を計算していましたが、
どうやったらこれだけ多くの計算を短時間に出来たのでしょうか？
何か特別なやり方があるのでしょうか。エクセルでプログラムを既に
組んでらっしゃるのでしょうか。よろしかったらご教示いただきたく
お願いいたします。

ご教示頂いた中で、簡単そうな
[(3*s^2*L^2-24*s*L+60)/(s^3*L^3+9*s^2*L^2+36*s*L+60)]
について解き、L=1,2,5のときについてエクセルで描かせてみました。
振動は大きいですが、L=1,2,5の所に山ができ、一応インパルス応答を
再現できました。ありがとうございます。
高次にしないと近似が甘くなることも実感できました。
ただし、高次、特に５次以上は根を求めるすべが代数学的にないと認識しております。
４次方程式はフェラリの解法というものを使えば出来るそうですが、
小生３次方程式までしか勉強しておりません。
５次以上の高次の解を求めるには、何かテクニックがあるのでしょうか。
ご存知でしたらご教示いただきたくお願いいたします。

お礼日時：2008/05/02 19:07

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2008/05/01 14:31

ANo.7のコメントについてです。

[1]　パデ近似自体が全然駄目ということではないでしょう。
　インパルス応答のうちでδ(t)を無視した波形を見れば、δ(t-T)の（なだらかだし、振動しているけど）近似になっている筈です。　　
　ANo.6のお礼で、

> δ関数を次式で近似しました。

と仰るのは、G(s)の逆ラプラス変換をガウス関数で平滑化したものを計算してみたということでしょう。（本来は平滑化をしようがしまいが関係ありませんが、δ(t)じゃexcelに乗らないからこうなさったのでしょうね。）
　その結果、一番高いピークはt=0に出るにしても、t=Lの所にもそれなりに盛り上がりが観察された筈です。ガウス関数の幅を広げて平滑化を強くしてやるにつれて、t=0のピークがどんどん下がって目立たなくなる一方で、t=Lの盛り上がりはあまり低くならない筈です。
　つまり、「t=Lの盛り上がりの幅が比較的小さくて、しかも（山の高さではなく）カーブ下面積で見てt=0の山に比べて大きくなっていてくれさえすれば、急な変化をしない入力に対してならば、G(s)は無駄時間要素の代用にならなくもない」というのが、パデ近似の信号空間に於ける意味でしょうね。

[2]　| s|→∞でG(s)→Kのとき、ランプ応答ならば（s^(-2)を掛け算するわけだから）、Kδ(t)の成分は信号空間ではKtとして現れる。Kが他の成分に比べて相対的に小さければ余り目立たないでしょう。でもインパルス応答だとKδ(t)がモロに目立つので、高周波成分を含む激しく変動する信号には使えない。実用を考えると、せめてステップ応答で使いものにならないと面白くないんじゃなかなあ。
　性能を上げるために、近似になってるsの範囲を広げれば、Kδ(t)に比べてt=Tの山が大きくなり、しかも細くなって、δ(t-T)に近づく。しかし、そのためにはパデ近似の次数を高くする必要があり、要素Gを構成するのが大変になる。そういう構造の問題です。

[3] もしご質問が実務の話だったら、パデ近似にこだわらないという選択もあるはず。
　たとえばANo.8のやり方ですと、振動は残るがδ(t)は完全に消えます。
　ANo.5の近似は、δ(t)が現れないし、次数nが案外小さい段階でかなりδ(t-T)に似ます。それに、全く振動しません。山の幅がそのまま、カットオフされる高周波の閾値を表している訳ですから、nを幾らにするかの設計が簡単。総合的に、パデ近似より良いと思います。弱点は無駄時間が入力信号の周波数によって少々違うことですけど、パデ近似だって波形が崩れるのは同じこと。
　いや、そもそも無駄時間要素は、電気信号なら例えば表面弾性波を使って素直に実現する方法もあるから、何が何でも近似をするしかないという訳ではないんだし。

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
現在は実務ではなく、将来の向学のために制御工学を勉強中です。
近い将来必要になることを見越してです。
どうせ勉強するなら実務で使えるものでないと意味がないと考え、
実務想定で勉強中です。
＞ANo.8のやり方ですと、振動は残るがδ(t)は完全に消えます。
参考になります。ANo.6の偶数次の近似式と、ANo.2お礼にある
奇数次の近似式とを足して２で割るということですよね。
試してみます。
＞ANo.5の近似は、δ(t)が現れないし、次数nが案外小さい段階でかなりδ(t-T)に似ます。...
せっかくご教示いただいたのですが、高等すぎてよく分かりません。
ご面倒でなければ、ANo.5で省かれていた証明をご教示いただければ幸いです。

お礼日時：2008/05/02 18:55

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2008/04/30 17:39

ANo.7を書き込んだ直後に思い至ったのだけれども、ANo.6の偶数次の近似式と、ANo.2お礼にある奇数次の近似式とを足して２で割れば、|s|→∞のときに0になる近似式になる。

当たり前だあ。これでも「パデ近似を使ってる」ことには違いない。展開したらどうなるでしょうかね。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2008/04/30 17:20

ANo.4の追記です。

　|s|→∞のとき、もしG(s)が0以外の定数Kに収束するんだと、逆ラプラス変換で（δ(t-T)ではなくて）Kδ(t)が現れる。ってことはつまり、G(s)が有理関数の場合、分子の次数は分母の次数より低くなくてはならない。
　なので、パデ近似のアプローチでは、逆ラプラス変換したときにδ(t-T)を近似するような式を作るのは無理だと思う。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。
ANo.6お礼欄に記載させていただきましたが、やはり
δ(t-T)ではなくてδ(t)が現れるため、求めようとした結果になりませんでした。
ステップ応答やランプ応答は求めようとした結果が出るのに
なぜインパルス応答だけは、得ようとした結果にならないのでしょうか。
これでは近似の意味がないですよね。
しかし、制御工学の教科書には無駄時間要素は有理関数のパデ近似する
と書いてあります。そもそもインパルスだけは必要がないのでしょうか。

お礼日時：2008/05/01 11:47

No.6 回答者： info22 回答日時： 2008/04/30 02:42

#2です。

>無駄時間要素をe^(-Ls)とすると3次/3次のパデ近似
> e^(-Ls)
> ={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}
> /{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120}
この分子,分母のsの最高次係数の比が「-1」になり、部分分数展開の定数項が「-1」となって-δ(t-L)が発生します。
これはs→∞でバデ近似関数→-1になることに起因しています。つまり、
これがt=Lで「-δ(t-L)」の発生要因になります。
一方、s→→∞でe^(-Ls)→0+ になります。つまり、
これがt=Lで「δ(t-L)」の発生要因になります。

この矛盾をなくするには、パデ近似関数の分子・分母の次数が偶数次の展開を使用する必要があります。つまり、e^(-Ls)のパデ近似関数として
（２次)/(２次)の
(s^2*L^2-6*s*L+12)/(s^2*L^2+6*s*L+12)
または
（４次)/(４次)の
(s^4*L^4-20*s^3*L^3+180*s^2*L^2-840*s*L+1680)
/(s^4*L^4+20*s^3*L^3+180*s^2*L^2+840*s*L+1680)
関数を用いれば、
分子,分母のsの最高次係数の比が「1」になり、部分分数展開の定数項が「1」となってδ(t-L)が発生させることができます。
これらのパデ関数ではs→∞でパデ関数→1>0になり、このことがt=Lでδ(t-L)を発生することを意味します。

ということで無駄時間要素（遅延要素）のパデ関数として
（sの偶数次）/(sの偶数次)の近似関数を使う必要があると言うことですね。
そうすると、近似関数を部分分数展開は定数項として「1」を分離すれば、残りは普通の部分分数展開ができるようになり、ラプラス逆変換も可能になるかと思います。

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
ご教示頂いたe^(-Ls)のパデ近似関数として
（２次)/(２次)の
(s^2*L^2-6*s*L+12)/(s^2*L^2+6*s*L+12)
でインパルス応答を求めてみました。
解は共役複素数の2点が求まり、やはり複素平面上では、
分母(極）と分子(零点）は左右対称でした。
一般解をσ±jωとすると
G(s)={(s+σ+jω)(s+σ-jω)}/{(s-σ-jω)(s-σ+jω)}
　={(s+σ)^2+ω^2}/{(s-σ)^2+ω^2}
とおけるので
G(s)=A+{B(s+σ)+Cω}/{(s-σ)^2+ω^2}
とおいて部分分数展開し連立方程式を求めると
A=1
B=4σ
C=4σ^2/ω
となりました。
これをL=1,2,5の場合について解きδ関数を次式で近似しました。
δ(t)=lim{n→∞}[(n/π)^0.5]EXP(-nt^2)
エクセルで描いてみたところ、δ(t-L)なので
ピークはL=1,2,5で出るはずが、
すべてt=0のところになってしまいました。
無駄時間要素においてパデ近似したもののインパルス応答は求められないのでしょうか。

お礼日時：2008/05/01 11:39

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2008/04/29 23:39

　無駄時間要素を有理関数で近似するという発想が面白いんで、ちょこっといじくってみました。

γ(n,T,t) = (t^(n-1)) exp((1-n)t/T)
という、t≧0で定義された実関数を考えます。ここに、T≧0、nは正の自然数です。
　すると、γは連続関数であって、
・　γ(n,T,0)=0
・　t>0のときγ(n,T,0)＞0
・　t→∞のとき、γ(n,T,0)→0
・　t=Tに唯一の極大を持つ。
・　t=T±T/√(n-1)に変曲点を持つ。
という性質があります。
　また、γのグラフの面積
A(n,T) = ∫γ(n,T,t)dt （積分範囲は0～∞）
は当然ながらnとTだけの式で書けます。（Γ関数を使えば具体的に計算できますが、めんどくさい（ってか、実は間違えそうな）のでパス。）

　そこで、γをAで規格化したもの
f(n,T,t) = γ(n,T,t)/A(n,T)
を考えると、n→∞のとき、f(n,T,t)→δ(t-T) って寸法でさあ。（え？証明？　えーと、めんどくさいのでパス。＜またかよ）この関数、結構性格が良さそうだってことは、幾つかのnについてグラフを描いてみればお分かり戴けるのではないかと思うんだけどな。

　一方、
G(n,a,s) = 1/(s+a)^n
の逆ラプラス変換は
g(n,a,t) = (t^(n-1)) exp(-at)　/　(n-1)!
だから、
γ(n,T,t) = (n-1)!　g(n,(n-1)/T,t)
ゆえに
f(n,T,t) = ((n-1)!　/　A(n,T))　g(n,(n-1)/T,t)
つまり、fのラプラス変換は
F(n,T,s) = ((n-1)!　/A(n,T))　/　(s+(n-1)/T)^n
である。

　という訳で、無駄時間要素 exp(-Ts)（ANo.4では「遅延」と書きましたが、「無駄時間要素」と呼ぶ方が良いですね。）は F(n,T,s) (n→∞）で近似できる。つまり、単に1次遅れ要素 1/(s+a) をいっぱい直列してやれば、（従って、exp(-at)をいっぱい畳み込めば）T=(n-1)/aの無駄時間要素に似てくる。こりゃ知りませんでした。