対数

18^18は、何桁の数で、最高位の桁の数字と末尾の数字は何か。

という問題で、末尾の数字はどのように求めればいいんでしょう？
見当が全くつかないのでどなたか教えてください!
よろしくおねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/05/30 22:39

「末尾の数字」とは「１の位の数字」のことですよね？

掛け算の筆算を思い出すとわかりますが、
一般に、整数同士の掛け算のとき、こたえの１の位というものは、
かける数字の１の位と、かけられる数字の１の位だけで決まりますので、上の桁の数字から影響を受けません。
つまり、１の位だけに注目するわけです。

１８の１乗の１の位の数字は、８
１８の２乗の１の位の数字は、８に８をかけたときの１の位なので、４
１８の３乗の１の位の数字は、４に８をかけたときの１の位なので、２
１８の４乗の１の位の数字は、２に８をかけたときの１の位なので、６
１８の５乗の１の位の数字は、６に８をかけたときの１の位なので、８
ここで、１の位が「８」に戻りました。
つまり、掛け算４回の周期で１の位が変わります。

８→４→２→６→８→４→・・・・・


１乗のときの１の位　＝　５乗のときの１の位　＝　・・・・・
　＝　１７乗のときの１の位　＝　８

よって、１８^18 の１の位は（１７乗のときの８の次なので）・・・

No.4 回答者： okada2728 回答日時： 2008/05/31 15:56

18≡8mod10

18^2≡8^2=64≡4mod10
(18^2)^4≡4^4=256≡6mod10
18^9=18^8*18≡6*8≡8mod10
∴18^18=(18^9)^2≡8^2≡4mod10

No.3 回答者： okormazd 回答日時： 2008/05/31 01:11

1.

18^18=(2*(10-1)^18=2^18*(10-1)^18
=2^18*(10の倍数+(-1)^18)=2^18*(10の倍数+1)
=2^18*10の倍数+2^18
=10の倍数+2^18

(10-1)^18を展開すると最後の項より前にはみんな10がかかる。最後の項は(-1)^18。だから、10の倍数+(-1)^18
10の倍数:2項定理知ってる人はわかる。

2^18=2^10*2^8=1024*256だから、1位の数=4
1024、256:コンピュータやる人はしってる。

2.
対数
y=18^18とする。
両辺の対数をとって、対数を何で計算する？

覚えている数値と対数表を使うと、
logy=log18^18=18*log18=18*log2*3^2=18*(log2+log3^2)
=18*(log2+2*log3)=18*(0.3010+2*0.4771)=18*1.2552=22.5936

y=3.92283E+22
よって、
最高位の数は3

Excelでは、
18^18=3.93464E+22
正確には、Windowsの電卓。
18^18=39346408075296537575424

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/05/30 22:38

(10+8)^18

= 10 (なんかの数) + 8^18
10で割れば，あまりは 8^18 からでてくる
8^18 = 2^54
= (2^10)^5 x 2^4
= (1024)^5 x 2^4
= (1020 + 4)^5 x 2^4
これを10で割れば，あまりは
4^5 x 2^4 = 1024 x 16
=(1020+4) x 16
だから，10でわった余りは 4 x 16 からでてくる
だから，一の位の数は 4

合同式の記法を使えばもっと綺麗にかける．
なお
18^18 = 39346408075296537575424