２進数の説明

こんにちは。
現在、情報科で高校二年生に教えています。
そこで２進数の話がでてきたのですが、
私の頃は中学２年生辺りで習っていたので
復習程度の事をすれば良いと思っていましたが、
今、教えてる子達の新課程では２進数は習っていないそうです。
「じゃぁ、１０進数って判る？」と聞くと首を傾げるので、
１０進数の概念から話さなければならない事が判りました。
既に中学校の教科書も残っていませんし、
どのように教えてもらったのかも記憶にありません。

位取りの概念がおぼろげな相手に教える場合は、
どのように説明するのが理解しやすいのか、
どのような点に気をつけて指導すれば良いのか、
アドバイス、参考HPなど紹介して頂けたら幸いです。
よろしくお願いします。

No.8 回答者： taak 回答日時： 2004/07/19 04:54

時間が６０進数ですよね。

という話から入ります。

たとえば、
１２時５８分５７秒を＝１２：５８：５７→１２５８５７と表します。
１２５８５７を１２時５８分５７秒と呼ぶことにするわけです。

ここで、３秒後はどうなりますか？
１２５８５７＋３＝１２５８６０でしょうか？
いいえ違います。１２５９００になるんですよ。
では、１分後は？
１２５９００＋６０＝１２５９６０＝１３００００とやると正しくないですよね？
最初のルールでは、
１分は００：０１：００＝０００１００となるはずです。
以下略

このような形で、１０進数以外の概念も普段から使っているということを認識させた上で、２進数～Ｎ進数まであるということを教えるのがよいと思います。
どうせ２進数のあとには、１６進数を教えることになるんですからねー（笑）

No.7 回答者： mmky 回答日時： 2004/06/11 18:42

参考程度に

ｎ進数の概念は、１＋１＝２　であるとしか教えられていないほとんどの生徒にはなかなか受け入れられないものです。しかしほとんど全員が本当は１０進数以外で計算したことがあるのです。それは「そろばん」です。そろばんは玉が５個しかないですね。それで桁上げをやっていますね。そろばんの玉を１個にしてみれば２進数の桁上げの概念がわかると思います。そろばんでも持参させてみるとｎ進数の概念の教育にはいいかもしれません。

No.6 回答者： sergiokamamoto 回答日時： 2004/06/09 01:02

数十年前の数学大好き元高校生です。

人間の指が左右あわせて5x2だったので、人類は10進数を思いつきました。
最初、数を数えるという行為が2本の腕（つまり1人の人間）で足りている時代に１、２、・・・という呼び方が生まれました。
でも、時々2本の腕を越える数を数える必要が出てきました。
でも、10を超える数（11以上）全てに名前を割り振るということは現実的でないことに気づいた賢人が5x2の指の数を一つにまとめる表記法（位取り）を思いつきました。
これを１０と書くことにしたのです。
これがゼロの発見です。
「ここに書いた”１”は1桁目の数ではないよ」ということを示すために”０”を書いたわけです。
2桁目をこう書けることに気づいた人類が、例えば14の意味するところを定義することは簡単ですし、3桁目(100)の”１”の意味を論理的に導くのは（人間の指の数だけにこだわっていては物理的な意味が付け難いですが）ゼロの発見ほど時間がかからなかったと推測できます。
ゼロの発見の前から多くの言語で、人間は１１、１２に固有の呼び方（英語では、eleven、twelve）を与えていますが、twenty-one、fifty-twoなどの呼び方はゼロの発見と深くかかわっているのではないかと思います。
人間の指が左右1本ずつならどういう数え方をするか、皆で考えたら分かりやすく・楽しい授業になるのでは・・・
参考文書は岩波新書の「零の発見」（今は絶版？）ですが、生徒に読ませる必要はないでしょう。

No.5 回答者： alnitak 回答日時： 2004/06/08 18:49

はじめまして。

高校二年生に教えている方に高校一年生である私がアドバイス(?)するのも生意気ですがお許し下さい。

位取りの概念は、小学一年生で繰り上がりの足し算を教わった時のことを思い出せばうまく説明できます。今更、と思われる内容かもしれませんが、小学一年生が未知の世界を知るように、今の高校生は二進数という未知の世界を高校で習います。なので、初心に戻ってできる限り丁寧に解説した方がいいかと思います。

ここでは便宜上、例えば13を|1|3|のように位をわけて書きますが御了承下さい。また、この場合は3のある位を「一桁目」と表現します。

まずは十進法から
十進法ではひとつの位に９までしか入れません。なのでひとつの位で１０になると次に大きい位にまとめて入れられます。
つまり　|0|9|　の次は　|0|10|　ではなく |1|0|となります。ここで、二つ目の位にある１は１ではなく１０を表しています。なのでこの位を「１０の位」と呼ぶことにします。（はじめの位を「１の位」と呼ぶ）この１０の位にある数字nは１の位では10nを表す事になります。
ここで十進法での数の表し方の復習…
|a|b|c|d|となっているときは、1000a+100b+10c+d
です。これは中学で既に学習済みかと思います。

では二進法はというと
二進法ではひとつの位に一までしか入れません。なのでひとつの位に２が入ると次に大きい位に繰り上がります。
つまり　|-|1|(2)　の次は　|0|2|(2)　ではなく |1|0|(2)となります。ここで、二つ目の位にある１は１ではなく２を表しています。なのでこの位を「２の位」と呼ぶことにします。（はじめの位を「１の位」と呼ぶのは十進法と同じ）したがって、この２の位にある数字nは１の位では2nを表す事になります。（しかし、n>1だと次の位に繰り上がるので実質的には1nとなり結局は0か2ですが。）これはNo3の方の二円玉の表現がわかりやすいと思います。
また、この調子で考えると、|a|b|c|d|(2)のときにそれぞれの位が表す数は（それぞれの位にnという数があるとする）
d=1n,c=2n,b=4n,a=8n
となります。つまり|a|b|c|d|(2)は8a+4b+2c+1dになります。これの考え方は十進数と同じですね。
また、これが理解できれば二進数→十進数も簡単にできます。例えば、10010(2)は16*1+8*0+4*0+2*1+1*0ですので１８(10)となります。

要は、十進数は１０で次の位にまとまりが行くから「十進」なのであって二進数は２で次の位に進むのです。
この応用で例えば16進法なども、各位が16^(m-1)（mは何桁目かを表す）を表すこともわかり、すぐに16進法→10進法もできると思います。気をつけなくてはならないのは、二進数の場合は二桁目は「１０の位」なのではなく「２の位」というのをはっきりさせる事です。

若輩者ですがお役に立てたでしょうか。

No.4 回答者： gabo2gou 回答日時： 2004/06/06 18:31

以前は中２の３学期に２進法がありましたが、新しい学習指導要領ではなくなりましたね。

以前教えていたときは、あなたと同じように１０進法の説明から始めました。古い中学校の参考書などをご覧ください。ですが、そんなにくわしくはやっていませんでしたよ。

１０進数と２進数の表記の対応
　１(十)＝　　１(二)
　２(十)＝　１０(二)
　３(十)＝　１１(二)
　４(十)＝１０１(二)
　　　・・・・・

３４５(十)＝３×１０2＋・・・
３４５(二)＝３×２2＋・・・

そして
１０進法→２進法、２進法→１０進法　のやり方。

このあと
もしティラノサウルス(指２本)が絶滅せずに高度な文明を持ったら、４進法を使うだろうとか、ばか話をしたあとｎ進法に拡張して終わり。
ぐらいが中学校の教科書の記述です。３～４ページ分です。（ばか話は載っていませんでしたが）

わたしの場合は、おまけとして
指を折って２進数をあらわす方法と
１０進法に直さない四則の筆算をしていました。（生徒が混乱しない程度に）
例えば
　　１０１(二)　　　　　　１０１(二)
　＋　１１(二)　　　　　－　１１(二)
－－－－－－－－　　　－－－－－－－－
　１０００(二)　　　　　　　１０(二)

　　１０１(二)　　　　　　　　　　１１(二)
　×　１１(二)　　　　　　　－－－－－－－
－－－－－－－－　　１１(二)）１０１１(二)
　　１０１　　　　　　　　　　　１１
　１０１　　　　　　　　　　－－－－－－－
－－－－－－－－　　　　　　　　１０１
　１１１１(二)　　　　　　　　　　１１
　　　　　　　　　　　　　　　　－－－
　　　　　　　　　　　　　　　　　１０(二)あまり
などです。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2004/06/06 15:04

うちの子供は小学生なんですが、私は、ついこの前、「２進法」を教えてしまいました。

教えた発端は、こういう数学手品の話題からでした。
・１～１５までの数のうちの８個だけが選ばれて書かれているカードが４枚あります。
１枚目のカードには、 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15
２枚目のカードには、 2, 3, 6, 7,10,11,14,15
３枚目のカードには、 4, 5, 6, 7,12,13,14,15
４枚目のカードには、 8, 9,10,11,12,13,14,15
・相手に１～１５の数のうち、好きなのを１つ考えてもらいます。
・相手に４枚のカードをそれぞれ見せて、その中に意中の数字があるかどうかを聞きます。
・そうすると、相手が何の数字を選んでいたかがわかる、　という手品です。

この「手品」のタネを説明するときに、２進法の概念を教えたのです。
つまり・・・
４枚のカードは、実は、それぞれ「１円玉」「２円玉」「４円玉」「８円玉」であった！
だから、相手の意中の数字があるカードの「値段」を全て加算すると、相手の意中の数字そのものになる！

ここまで来れば、２進法の表記の説明は簡単。
一番下の位の数字は１円玉の枚数
その次の位の数字は２円玉の枚数
・・・

１０進法の説明は、１円玉９枚、１０円玉９枚、１００円玉９枚、１０００円札９枚・・・。

ここまで、説明したところで、初めて、
２進法で、もしも、１円玉、２円玉…が各２枚以上あったら、どういうことが起こる？
これを子供に考えさせます。
（１０進法ならば１円玉、１０円玉…が各１０枚以上あったら…）
すると、子供は、１つの数の表現方法が複数通りになってしまうことに気づきます。
それでは一意性がないから数学は不便になるから、各桁のコインの枚数が限定されている。限定されるということは、それ以上の数を表わすときには、１つ大きいコインを使わないといけない、すなわち、桁上がりしないといけない、というふうに教えるのです。

なお、うちの子供は、上に紹介した数学手品のカードを、教えたその日のうちに手書きですらすら自作できるようになりました。３１までの数を５枚のカードでやるのも作れました。
そして、これがデジタルの概念そのものだと教えたら、目を丸くして驚いていました。

以上、教育の専門家でもなんでもない者の全く我流の教え方ですが、ご参考になりましたら。

No.2 回答者： gutugutu 回答日時： 2004/06/06 10:11

１０進法で指折数える方法を、２進法でやるともどかしくていらいらしますが、ゲーム感覚でチームで速さを競い合ったりすれば効果的ではない

でしょうか？

No.1 回答者： matherlake 回答日時： 2004/06/06 08:50

そろばんをイメージするのがわかりやすいと思います。

今の子供たちはそろばんもあまり見たことがなかったりしませんが・・・

９タマのそろばんをイメージさせて、９に１を加えると１ケタ目を空欄にして２桁目を１にする。５進法なら４タマ、２進法なら１つタマのそろばんを考えればよいと思います。

この回答へのお礼

> 今の子供たちはそろばんもあまり見たことがなかったりしませんが・・・

原理としてはその通りだと思いますが、確かに私もそう思いました…。

お礼日時：2004/06/11 16:20