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- 回答日時:
応力テンソル
σ(テンソル)=σijeiej [eiejはディアド積]
∇=ei∂/∂xi+ej∂/∂xj
とする。2次元極座標(r,θ)では
応力テンソル
=σrrerer+σrθereθ+σθr eθer+σθθeθeθ
∇=er∂/∂r+eθ 1/r∂/∂θ
応力の平衡方程式は
∇・σ=F[ σはテンソル、Fはベクトル、∇・はdiv]
基底の微分で0でないものは
∂er/∂θ=eθ
∂eθ/∂θ=-er
成分を代入する 左辺=
[er・∂/∂r+eθ・1/r∂/∂θ][(σrr)erer+(σrθ)ereθ+(σθr) eθer+(σθθ)eθeθ]
=
(微分がテンソル成分にかかる項)[内積が0になる項は0]
=[∂(σrr)/∂rer+∂(σrθ)/∂reθ]+[1/r∂(σθr) /∂θer+1/r∂(σθθ)/∂θeθ]
(微分がディアド積の前成分にかかる項)[内積が0になる項は0]
+[(σrr)er+(σrθ)eθ]/r
(微分がディアド積の後成分にかかる項)[内積が0になる項は0]
+[(σθr) eθ-(σθθ)er]/r
成分ごとに書けば
r成分:
[∂(σrr)/∂r]+[1/r∂(σθr)/∂θ]+(σrr)/r-(σθθ)/r
=[∂(σrr)/∂r]+[∂(σθr)/∂θ]/r+[(σrr)-(σθθ)]/r
θ成分
∂(σrθ)/∂r+1/r∂(σθθ)/∂θ+(σrθ)/r+(σθr)/r
=∂(σrθ)/∂r+1/r∂(σθθ)/∂θ+2(σrθ)/r [σrθ=σθrをつかう]
または、σrr→σr σθθ→σθ σrθ→τrθ をつかって
応力の平衡方程式にすれば
r成分:[∂(σr)/∂r]+[∂(τrθ)/∂θ]/r+[(σr)-(σθ)]/r+Fr=0
θ成分:1/r∂(σθ)/∂θ+∂(τrθ)/∂r+2(σrθ)/r+Fθ=0
この回答へのお礼
お礼日時:2008/05/31 23:21
ご丁寧な回答ありがとうございます。この導出は教科書にのってなかったので助かります。本当にありがとうございました。また何か分からないことがあったら教えてください。
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