線形代数 基底

こんにちは。　線形代数の基底の問題がわからず教えていただきたいです。　問題は、「次の式は、ｘ と ｙ とが一つに結合している。　これを、基底変換をすることで分離した形（ Ｘ と Ｙ ）で表しなさい。　ｘｙ＝１」という問題なのですが、わかりません。　教えてください。　よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtaka_2007 回答日時： 2008/06/19 09:52

このような問題が突然でてくることはないと思います。

同じような問題あるいは解説が教科書等にあると思います。『線形代数マスター30題』の123ページにも同じような問題があります。
これは、２次形式です。[x,y]A（[x,y]の縦行列）とすると、Aは、
A=(0, 1/2)
(1/2, 0)
の対称行列となります。これを基底の変換により、対角行列に変換すればXとYで分離した形になります。固有値を求めれば+-1/2となり、固有ベクトルを求めれば、変換行列は、
P=(1, 1)
(1,-1)
となり、N02の方のように、X=1/2(x+y)、Y=1/2(x-y)の変換でX^2-Y^2=1となる。グラフを書けば分かるように、x-y軸を45度回転したX-Y軸となります。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2008/06/15 23:22

多分、たとえば、

X=x+y
Y=x-y
とかして、
xy = X^2/4 - Y^2/2
とかいうことか。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/15 16:38

「分離した形」ってのは？