対称行列 固有値 実根

n次実対称行列の固有方程式の解（固有値）がn個の実数となるのは、なぜでしょうか。
参考書など見てみましたが、記載されていないようで困っています。
簡単な証明や理論など、どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいです。

No.3 回答者： kup3kup3 回答日時： 2008/06/24 20:13

回答させていただきます。

(1)　実対称行列の固有値は全て実数です。
(2)　n次実行列の固有値は複素数の範囲では重複度もこめてn個ある。

　(1)は裳華房の佐武一郎著「線型代数入門」p152に証明があります。

　次の様に証明できます。(x ,y）で普通の「内積」(x ,y）=Σxiyi　を表すとする。
　すると、(x ,y）=(y^t)x となります。^tは行列の転置を示しています。
◎　Aが対称行列　⇔　(Ax,y)=(x,Ay)　for　any　x,y　を使います。
　　今必要なのは　→　だけなので　Aを３行3列位の
対称行列などとしてみて確認すればよいと思いますが、一応この本に
したがい、「→」 だけ証明します。
　◎の「証明」は　「Aが対称行列　⇔　A^t=A」だから
　(x,Ay)=((Ay)^t)x=(y^t)(A^t)x=((A^t)x,y)=(Ax,y)

さて、（１）を証明します。
「証明」
　Aは実対称行列とする。複素数βの「共役な複素数」をここでは
　~βで表すことにする（例　~(3＋2i)=3－2iなど）と、行列　~Aが考えられるが、
　Aは実行列なので、　~A=A　・・・（ア)
　Aの固有値をαとし、Ax=αx　，x≠0　としたとき両辺のバー（複素共役）をとれば
　　~A(~x)=~α(~x)　　（ア)から　→　A(~x)=(~α)(~x)　
　ゆえに、(x,A(~x))=(x,(~α)(~x))=~α(x,~x)　・・・（イ)　
　一方　　　　　　(Ax,~x)=(αx,~x)=α(x,~x)　・・・（ウ）　
　
ところがAは　実対称行列　なので、◎　から　(Ax,~x)=(x,A(~x))　・・・(エ)　　
（イ）（ウ）（エ）から
　　~α(x,~x)=α(x,~x)　・・・(オ)となる。ここで、x≠0から
　　(x,~x)=Σxi(~xi)=Σ|xi|^2>0
　ゆえに(オ)から　~α=α　⇔　α　は実数となる。
（ただし、xiはxの第i成分で　一般には複素数であって、
|xi|はその絶対値です。）

(2)
　n次実行列Aの固有値は　行列式　|A－λI|=0　というλのn次方程式の
解なので複素数の範囲で重複度も含めてn個あります。（ガウスの定理）

ゆえにAがn次の実対称行列ならばその固有値は（1）から実数なので
実対称行列Aの固有値は重複度も含めてn個あり全て実数となります。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/06/24 12:30

エルミートの固有値はなぜ実数？というのと同じ質問ですな

ヒントだけ：
<x,y>を複素の内積，A^*でAの共役転置と表すと
<x,Ay>=<A^*x,y>
ってことと内積の定義から
エルミートの固有値が実数であることはすぐでる．

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2008/06/24 11:50

エルミート行列の固有値は実数である

だからじゃ
エルミートAのA^*=A
固有値のA・x＝λ・x
をごちゃごちゃいじくって
λ＝λ＾＊
であることを補足に示せ