２変数関数の極値を求める問題が分かりません。

次の２変数関数の極値を求める問題が分かりません。

1）　f(x,y)=x^3-2xy-y^2-x

2）　f(x,y)=xe^(-x^2-y^2)

何方か分かる方がいらっしゃったら途中過程の解説をよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/09 22:51

計算過程：

勾配ベクトル (∂f/∂x, ∂f/∂y) を計算し、
それが零ベクトルになる点(臨界点)の座標を求める。
臨界点が、極値点の候補である。

各臨界点について、ヤコビ行列
∂^2f/∂x∂x　　∂f^2/∂x∂y
∂^2f/∂y∂x　　∂f^2/∂y∂y を計算する。

f が C^2 級以上の実関数であれば、
ヤコビ行列は実対称(したがってエルミート)となり、
その固有値は、どれも実数である。
二つの固有値の符号が…
正と正 ⇒ (狭義)極小
正と零 ⇒ 広義極小
正と負 ⇒ 極値でない(鞍点)
零と零 ⇒ まだ判らない(３階偏微分係数の検討が必要)
零と負 ⇒ 広義極大
負と負⇒ (狭義)極大

実演は、御自分で。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/12/09 22:40

1),2)とも同じです。

δf/δx=0　　　(1)
δf/δy=0　　　(2)
(δは偏微分の意味）

(1)、(2)を連立すればその解の中に極致を与える点（x,y)が入っていることは確かです。
極値かどうかはその点の周囲のグラフを描いてみて確認するのが定石です。