高校入試の数学の問題で公約数・公倍数の問題です

二桁の整数が２つあってその最大公約数が2×２×3、最小公倍数が２×２×２×２×３×５である。この二つの整数を求めよ。

です。答えは48.　60ですが、答えしか書いてなく、さっぱりわかりません。よろしくお願いします

No.4 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/12/13 18:26

最小公倍数が

　2×2×3
ですから、2つの整数A,Bは、どちらも、これを因数として持ちます。
　A=2×2×3×〇
　B=2×2×3×△
ここで、最小公倍数が
　2×2×2×2×3×5
ですから、A,Bは、因数として、どちらかは、5を持ち、どちらかは、2×2を持つことになります。すると、A,Bが二桁の整数であることから、
　A=2×2×3×5=60
　B=2×2×2×2×3=48
ということになります。

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2002/12/13 16:55

こんにちは。

最大公約数２×２×３
最小公倍数２×２×２×２×３×５
という数ですが、
最大公約数が２×２×３＝１２
ということなので、求める二つの数は、１２の倍数になります。

さて、２×２×２×２×３×５＝（２×２×３）×（２×２×５）
ですから、最大公約数をどけた因数は（２×２×５）
の約数になることが分かります。

（２×２×３）×１＝１２
（２×２×３）×２＝２４
（２×２×３）×（２×２）＝４８
（２×２×３）×５＝６０
（２×２×３）×（２×５）＝１２０
（２×２×３）×（２×２×５）＝２４０

となるので、この中で二桁は１２、２４、４８、６０の４つ。
最小公倍数が２４０になるためには、（２×２×５）を二つの整数に振り分けないといけないから
４８と６０になります。

No.2 回答者： tamagawa49 回答日時： 2002/12/13 16:50

最大公約数が2×2×3ということなので、求める２つの数は

2×2×3×□
2×2×3×□×□
ということになります。

最小公倍数が2×2×2×2×3×5ですから、2×2×3を除いた２，２，５が上の３ヶ所の□に入ります。ところが2と2×5に分けて□に入れると、最大公約数は2×2×3ではなく2×2×2×3になってしまいます。
従って5と2×2に分けて入れた結果
2×2×3×5=60
2×2×3×2×2=48
になります。

２桁の整数という条件がなければ
2×2×3=12
2×2×3×2×2×5=240
というのもあります。

No.1 回答者： a-kuma 回答日時： 2002/12/13 16:49

最大公約数が 2×2×3 だから、二つの整数は

　　Ａ ＝ 2×2×3×α
　　Ｂ ＝ 2×2×3×β

ですね（αとβは、互いに素）。で、最大公倍数は

　　2×2×3×α×β ＝ 2×2×3×2×2×5

ですから、α×β ＝ 2×2×5 です。αとβは、互いに素なので、

　　α ＝ 2×2
　　β ＝ 5

で、最初の定義に当てはめると、48 と 60 がでますね。


ちなみに、

　　α ＝ 2×2×5
　　β ＝ 1

でも良いような。これだと、240 と 12 も答えになりそうな。