大学1年生、数学専攻です。
最近、線形代数について学習をはじめたのですが、
どうも小さい部分からやっているせいか、全体像がつかめません。
そこで教えて欲しいのですが、

・なぜ行列、行列式を利用しなければいけないのか。
 それは微分方程式や、グラフ理論などをある意味「視覚化」
 するものなのか。私には余計ややこしい気がします。

・行列式や、固有値、写像や基底というのは、
 この分野を理解する上で、どういう役割があるのか。
 あるいは、お互いにどのようなつながりがあるのか。

大学数学に関してはまだまだ初心者なので、
なるべく解りやすく説明していただけるとうれしいです。

(本は数冊読んでみましたが、どうしても全体像がつかめません。
数式などは提示しなくてもいいので、「言葉」の面での
説明をお願いします。)

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

補足を拝見しました。



 ご質問は「鶴亀算と連立方程式と行列は本質的に何も変わらない。」そういうご主旨でしょうか。出てくる答は同じでも、抽象度が違います。
 ベクトルの張る空間に対する演算子として行列を扱うことで、何次元の空間でも幾何学が展開できます。また行列そのものを対象として扱うことによって、連立方程式系同士の関係が論じられます。これらの事はお気づきでしょう?
 線形代数は一般に無限自由度の線形空間を対象にします。ちょっと不正確だけど無限次元の行列を扱うようなもの。要素に分解していたんじゃ扱えません。行列の本を何冊見たって、行列のことしか書いてないですよ。取りあえず、抽象代数、あるいは関数解析の本でも読んでみてください。

 大学は教えて貰うのを待っている所ではありませんよね?むしろ、教授や先輩や図書館といった「設備」を自由に活用する権利を持っていらっしゃるんです。(持ち腐れのまま卒業するひとも多いようですが...)今時の大学は登録していない講義を勝手に聴講に行くと怒られるンですか?まさかそんなバカな。どんどん見聞をひろめ、先輩方に教えを請うのも良い手です。教授室に押し掛けて直に相談するのもアリです。ビビることありません。がっちり利用致しましょう。数学科の学生さんとして、どんな分野をやろうとなさっているかにも依ると思いますので、いろいろ相談して適当な教科書を紹介して貰うのが良いと考えます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

> 連立方程式系同士の関係が論じられます。

なるほど...としか言いようがないほど、気付きませんでした。
行列を学ぶときは行列しか頭に思い浮かばず、
連立方程式のときも連立方程式しか頭に浮かばず、という状態でした。
お互いの関連性を考えながら学習していかなければいけないですね。
図だとほんの限られた次元しか表現できないけれど、
行列を使えば、簡単(じゃない?)にそれを表現できる、
何次元でも演算その他が可能である、ということですね。

…ちなみに、通信制の大学なので、施設とか無いんですよね。
 教授の言うこともどうも的を得ないで…
 私が今やっているのは、そういった行列の演算法とか
 関連性の探し方とかいう、本当に技術的なものなんですね。

お礼日時:2001/02/21 12:21

数学ド素人の個人的意見なのですが、


線形って計算機科学とかでは必須ですよね。
計算機(パソコンなど)をつかった数値計算では
問題を行列計算に帰着してるしていることが多いと思います。
"数値計算上、線形代数がないと何もできん"というところじゃないでしょうか。

また、量子力学などの物理学の分野でも鬼のように出てきます。
(基本的な量子力学って =線形代数みたいに思います)

線形代数の応用といえばやっぱり計算機とか情報科学とかですかね。
そういう応用関係の本をちらっとでも見てみるのもいいかもしれませんね。
ちなみにわたしは"線形代数とその応用(産業図書)"という本が簡単でおもしろかったです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
高校の理系物理までの先入観なのでしょうか、
微積分ができれば物理学なんて出来てしまう。
そういうふうに考えていましたが、
高次元になると、やはり行列を使った考え方が必要なんですね。

お礼日時:2001/02/21 12:24

stomachmanはこれ苦手。

未だに自由自在に行かないのが線形代数で、しょっちゅう数値計算をやってみて途中結果を確認しながら計算をします。stomachmanと同じく、ものごとをイメージで捉えるタイプの方とお見受けします。

 いろんな捉え方があるとは思いますが、社会に出て大学で数学やりました、といえるためには最低線、基礎中の基礎。ピアノでいうならバイエルです。
 まずは抽象的思考の基礎訓練と割り切って、1年生は1+1から練習をするのが良い。のちに難しい問題に対処するときにありがたみが分かってくる。数学って「直感で捕まえられなくなると話が分からなくなってしまう」というような我流では絶対到達できない深い世界なんですよ、きっと。だから公理論的に理論が組み立てられて、新しい概念が積み重ねられていく、そいういう理論構築過程をつぶさに追跡できる絶好の機会でもあります。

・まずは単に、連立方程式をベクトルと行列で扱うと便利です。解析幾何学と関連づけて解釈するととくに理解しやすいと思います。一般逆行列の問題は面白いし、実用上も逆問題に関連して非常に重要です。工学で有限要素法をやったり、複雑な曲面を設計する問題では、行列が無かったら手も足も出ません。
・行列式の本性は外積です。これも幾何学的な意味を捉えてみてはいかがかと思います。
・固有値、固有ベクトル、基底と独立性、は問題をスペクトル分解することで、基底の選び方の問題であり、力学や因子分析の基本的演算です。線形代数はすぐに関数空間に話を広げることになると思います。すなわち直交関数系という基底に繋がっていきます。応用数学では不可欠ですね。線形空間のフーリエ解析も、超関数論も、ソボレフ空間も、ヒルベルト空間も、演算子法も、Lee代数も....
・組み合わせ数学におけるグラフ理論との関連は、グラフを行列で抽象的に扱う訓練と考えてはどうかな。これも幾何学ですね。コンピュータに掛けるためにはこれが出来なくちゃ話になりませんし、neural networkでも基本的表現。
・線形代数が線形空間論に広がると、今度は位相の問題が重要になってきます。ルベーグ積分も、位相幾何学もその延長上にある。コホモロジーなんて言っても、究極の所は代数の構造に話が戻ってきます。

 抽象代数のバイエル。一方、イメージを押さえたければ、ユークリッド空間の幾何学や、電磁気学などの応用分野と一緒に勉強してみるのも面白い。アドバイスとしては座学に頼らず、少しづつ応用してみながら学ぶことをお勧めします。またExcelなどを使ってある程度の規模の問題を扱ってみるのも重要だと思います。

 是非、補足を付けて、問題のポイントをもう少し絞って具体化していただけませんか。
常連回答者には数学の専門家や大学教授もいらっしゃいますから、話がクリアになれば、もう堪忍してと言いたくなるほどの回答が来るかも。

この回答への補足

stomachmanさん、早速の回答ありがとうございます。
どのようなところにつながるか、というのは、
まだ私がやっているのは基礎でしょうから、先が見えない、
という感じがあります。

では、もうちょっと質問を絞ってみます。
今の高校数学(理系)では主に行列を「連立方程式を解く手段」
として扱っていますが、なぜわざわざ行列にしたのでしょうか。
大学では最初のうち、「連立方程式」と「ベクトル」を
行列、として表現する方法、およびそれに関する解法などを学びました。
わざわざ「行列」として表現することの「メリット」を教えてください。
…stomachmanさんが回答している、と言う部分もあるかと思いますが。

それから、これは基本的なことなのかもしれないのですが、
線形代数(空間)=行列 なのでしょうか?
違うとすれば、それはなんですか?

補足日時:2001/02/21 08:34
    • good
    • 1

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q線形代数の空間

線形代数の空間に関する名称の違い

線形代数を勉強しています。
ベクトル空間(vector space)、
線形空間(linear space)、
アフィン空間(affine space)
の3つは同じものなのでしょうか。

また、
内積空間(inner product space)、
計量ベクトル空間(metric vector space)、
前ヒルベルト空間(pre-Hilbert space)、
ユニタリ空間(unitary space)
の4つも同じものとして記述されているのをネット上で見かけたのですが、これらには違いがありますか。

別物だとしたら違いを、同じものだとしたらどのように使い分けられるのか教えてください。

その他にもノルム線型型空間、数ベクトル空間、ユークリッド空間、ヒルベルト空間、バナッハ空間と、様々な名前の空間があり、なかなか整理して理解できません。

特にノルム線型空間などは内積空間と区別がつかないのですが、やはり違う空間なのでしょうか。

たくさん考案されたのには、各々それなりの必要性や特色があると思うのですが、こういった空間はそれぞれどういった物理現象を記述する(または計算する)ために考え出されたのでしょうか。

基本的な質問かもしれませんが、どなたかご存じの方、よろしくお願いします。また、こういった空間についてまとまった記述のあるウェブサイト(日or英)などをご存じでしたら教えていただけると幸いです。

線形代数の空間に関する名称の違い

線形代数を勉強しています。
ベクトル空間(vector space)、
線形空間(linear space)、
アフィン空間(affine space)
の3つは同じものなのでしょうか。

また、
内積空間(inner product space)、
計量ベクトル空間(metric vector space)、
前ヒルベルト空間(pre-Hilbert space)、
ユニタリ空間(unitary space)
の4つも同じものとして記述されているのをネット上で見かけたのですが、これらには違いがありますか。

別物だとしたら違いを、同じものだとしたらど...続きを読む

Aベストアンサー

後半の質問について私の持つ印象を述べさせていただきます。

まずユークリッド空間は"普通"の空間です。
私達の住む空間の簡単なモデル、といったところでしょうか。
ヒルベルト空間はその自然な一般化であり、物理量を上手く記述するのに適した枠組みのようです。

荒く言うならば、ノルムとは長さや大きさのことであり、内積(計量)は更に角度をも考え合わせたものになります。
内積空間では三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立ち、初等幾何的にこれを示すことのできるユークリッド空間の一般化にあたります。
(内積の定めるノルムは特にユークリッドノルムと呼ばれます。何故ユークリッドノルムを誘導するのか、ということを考えると空間の等方性につながります。)

バナッハ空間やヒルベルト空間は"完備性"という、点列の収束に関する良い性質を持ちます。
例えば微積分をするときにはこの性質が重要な役割を果たします。

要点は
内積→ノルム→距離
及び
完備性
です。

Q行列の要素が複素数の場合の固有値・固有ベクトル

行列A = | 1 i |
| -i 3 |
の時の固有値、固有ベクトル(ただし、大きさが1であるもの)を求め、Aを対角化せよ

という問題なのですが、固有値が

λ=2−√2、2+√2

ここまでは求められたのですが、固有ベクトルを求める際に
上手くいかず困っています。
教えていただけないでしょうか?
見づらくてすみません・・・

Aベストアンサー

はい, 分かりました.
固有値 λ_1 = 2 - √2 に対する固有ベクトルが u_1 で,
固有値 λ_2 = 2 + √2 に対する固有ベクトルが u_2 ですね.
どちらも, 正しく求められています.
正規化する際に二重根号が現れたのは, むしろ正しく計算できている証拠なので, 心配する必要はありません.
その二重根号, 具体的には √(4 - 2√2) だと思いますが, はずすのは不可能です.
ですから, そのままの形で計算を続けてください.
エルミート行列を, 適当なユニタリ行列で対角化する, 典型的な問題です.
根号と虚数単位の i は, このパターンの問題では常連ですが, 二重根号まで登場して, 計算は楽とはいえません.
私は最後まで計算してみましたが, ものすごく疲れました.
それでも, 結局は無事に対角化できましたので, どうかご安心を.

新たな疑問が生じたら, 遠慮なく追加質問してください.
なるべく丁寧にお答えします.

Q線形代数の3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式

線形代数の、3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式の問題を教えて下さい
この問題が分かりません
3 次元空間において次の問いに答えなさい.
(1) 原点を含む法線ベクトル
1
  2
-1
の平面S の方程式を求めなさい
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
という問題です。皆さんお願いします
教えて下さい

Aベストアンサー

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/2=u、2-z=-u→z-2=u
よって直線の方程式は4-x=(5-y)/2=z-2・・・答
x+2y-z=0に4-x=(5-y)/2→y=2x-3、4-x=z-2→z=6-xを代入
x+2(2x-3)-(6-x)=6x-12=0、x=2、y=2*2-3=1、z=6-2=4
よってLとS の交点は(2,1,4)・・・答
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
>3点(0,0,0)、(4,5,2)、(2,1,4)を含む平面上の任意の
点を(x,y,z)とすると、u,vを実数として
↑(x,y,z)=u↑(4,5,2)+v↑(2,1,4)
要素を比較してx=4u+2v(ア)、y=5u+v(イ)、z=2u+4v(ウ)
(ア)(イ)からu,vをx,yで表すとu=(2y-x)/6、v=(5x-4y)/6
これらを(ウ)に代入して
z=2u+4v=2{(2y-x)/6}+4{(5x-4y)/6}=(3x-2y)
よって、3x-2y-z=0・・・答

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/...続きを読む

Q交流回路のRLC直列回路 条件 全体の電圧100V コンデンサXc=20Ω リアクタンスXL=100

交流回路のRLC直列回路

条件
全体の電圧100V
コンデンサXc=20Ω
リアクタンスXL=100Ω
抵抗R=80Ω
で電流を求めるんですが周波数がわからないのにどうすれば求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

コンデンサXc=20Ω
リアクタンスXL=100Ω

は、周波数まで含んだ値です。

Xc = 1/ωC (C : コンデンサーの静電容量)
XL = ωL  (L : コイルのインダクタンス)

ω = 2パイf  (f:周波数)
です。

Q線形代数 ベクトル空間について

  1 2 2 5
A=3 6 1 0  Aは4*3行列。
  2 4 1 1

W={Ax l x∈R^4}はベクトル空間である事を証明し、1組の基と次元を求めよ。
xとRはベクトルです。

上の問題がわかりません。
W={x∈R^4 l Ax=0}の問題の時はわかりますが、上の問題になると 全くわからないのです。

線形代数が得意でないので、出来れば詳しく教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

どうせなら Im(A)の基底とKer(A)の基底を同時にもとめましょう。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=597377
Aを列について基本変形する行列を求めると

  1 -2 0 1
D=0  1 0 0  
  -2 0 1 -3
  0  0 0 1

となり、
AD =
  -3 0 2 0
  1 0 1 0 
  0 0 1 0
これで Ax の次元と基底が求まりました。またkerとimageの次元の和は定義域空間の次元になることも明らかです。

Q5年生の割合の問題 です。 1、乗用車は、全体の何分の一ですか?

5年生の割合の問題 です。
1、乗用車は、全体の何分の一ですか?

Aベストアンサー

3分の1

Q線形代数の空間ベクトルの問題です。判る方教えてください。

線形代数の空間ベクトルの問題です。判る方教えてください。



(問題) 点(-1, 4, 7 )を通り、次の方程式で表される直線に平行な直線の方程式を求めよ。


     X =1+2t,  Y = -1 + t, Z = 2 - 3t



  答えは  (X+1)/ 2 = (Y-4)/1 = (Z-7)/-3

   となっていますが、どうやって導き出すのか分かりません。

   どなたか分かり易く教えてください。

       

Aベストアンサー

直線  X =1+2t,  Y = -1 + t, Z = 2 - 3t
の方向ベクトルは、
媒介変数tの係数を取り出して、
(2,1,ー3)
です。

したがって、
点(-1, 4, 7 )を通り、方向ベクトルが、(2,1,ー3)
の直線の方程式は、

公式:(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n

へ代入して求めます。

(x0,y0,z0)=(-1, 4, 7 )
(l,m,n)=(2,1,ー3)
を使います。


別の考え方:
媒介変数を使って、
x=-1+2t, y=4+1t, z=7+(-3)t
と、求めてから、tで解いて、

t=(x+1)/2=(y-4)/1=(z-7)/(-3)

で、(x+1)/2=(y-4)/1=(z-7)/(-3) と答えてもOKです。

Q行列の固有値です。 7 -4 -2 6 -3 -2 3 -3 4 の固有値が出せません。 多分自分の

行列の固有値です。
7 -4 -2
6 -3 -2
3 -3 4
の固有値が出せません。
多分自分の計算が間違っていると思うのですが…
解いてみてください。

Aベストアンサー

良かったですね!

Q明日テストの線形代数の線形空間、部分空間の問題で質問です。

明日テストの線形代数の線形空間、部分空間の問題で質問です。

________1__-1___2___-3
A=-2___1___1___-4 =(a1,a2,a3,a4)について、次の問いに答えよ。
________3__-5__16_-29

(1)
__________x1
R^4の部分空間 V=(x={x2}∈R^4:Ax=0)の基底と次元を求めよ。
__________x3
__________x4
(2)

__1
b=( k)∈R^3とする。連立方程式Ax=bを持つように定数kの値を定めよ。
__-5

また、そのときの解を求めよ。

(3)


ベクトルv=(1)∈R^3はR^3の部分空間<a1,a2,a3,a4>の要素か?

線形空間の理解が足らず解く方針が全く定まらないので多少の解説を付けて回答していただけるとありがたいです。
あと行列の書き方がわからず見にくくなってしまいました、すみません。

Aベストアンサー

とりあえず、連立方程式くらい自力で解こうよ・・・。

(1) Ax = 0の連立方程式をとく。

(2) Ax = bの連立方程式をとく。

(3) v = αa(1) + βa(2) + γa(3) + δa(4) をみたすα β γ δがあればvはその要素。これはAx = vが解をもつかどうか、と同じこと。

Q大学の数学

理系の大学の情報学部に指定校推薦で合格した現在高3の者です。
僕は指定校で大学へ行く事になるので、大学へ行ったら絶対に一般で合格した方々と比べて、学力が劣るのは明らかです。模試の偏差値も到底追いつくことはできてないのが事実です。どうにか留年しないためにも数学において勉強しておくべき範囲とオススメの問題集と勉強法を教えてください。よろしくお願いいたしますn(_ _)n

Aベストアンサー

大学での数学は、ほとんどの学科で微分積分学と線形代数(行列・ベクトル)を扱います。
そのため、数学Bのベクトルの範囲、および数学IIICの全範囲を復習しておくと良いです。
入学まで4ヶ月ほどありますので、十分復習に時間を割けると思います。
問題集ですが、学校で配布されているものでも十分対応できると思います。(4STEPやクリアーなど)
場合によってはチャートなども利用すると良いでしょう。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報