三角形の面積について問題です。

非ユークリッド幾何の世界の三角形の内角の和はπより小さいことが分かっています。
また、三角形の面積は、
「π－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）」と定義されています。
Ａ、Ｂ、Ｃとは、三角形のそれぞれの頂角の大きさです。

この定義を使用して、「三角形をどのように三角形に分割しても、細分三角形の面積の和は元の三角形の面積になる」ことを示したいのですが、うまくいきません。

たとえば、３つの角の大きさがα、β、γの三角形を２つに分割（頂点Ａから対辺に直線をひく）したとき、それぞれの三角形の角の大きさは、α１、β、δ１と、α２、γ、δになります。

つまり面積で表すと、
π－（α１＋β＋δ１）とπ－（α２＋γ＋δ２）となります。
この二つの面積を足すと、
２π－（α１＋α２＋β＋γ＋δ１＋δ２）となり、ここで、
α１＋α２＝α　δ１＋δ２＝πより、
π－（α＋β＋γ）と整理できて、もとの三角形と同じ面積だということがわかります。

これを、一般的に示したいのです。

まず、私が考えたのは、「三角形の分割の仕方」でした。
三角形を分割することによって角が分割されます。
角が分割される場所は(1)頂角　(2)辺　(3)頂角とも辺とも交わらないところ　です。
(1)で分割され角を足すと、元の三角形の頂角の和になります。（さっきの例でいうとα１＋α２＝α）
(2)で分割された角を足すとπの倍数になります。（さっきの例でいうとδ１＋δ２＝π）
(3)で分割された角を足すとπの倍数になります。

ここまで考えたのですが、(1)と(2)と(3)を足してうまくいくのかわかりません。アドバイスお願いします！！

No.1 回答者： ryn 回答日時： 2008/09/05 15:54

2つに分割する場合が証明できているので，

帰納法を使うというのではダメでしょうか？

ちなみに
> 非ユークリッド幾何の世界の三角形の内角の和はπより小さいことが分かっています。
これは曲率が負の双曲幾何学の場合で，
曲率が正の楕円幾何学の場合は
　A + B + C
がπを超えるので，三角形の面積は
　A + B + C - π
となります．