不等式の証明
nが2以上の自然数であるとき、次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ。
3^n>2n+1
証明)
(1)n=1のとき成り立つことを示す
より、この場合最小は2なので
n=2 のとき
(左辺)=3^2=9、(右辺)=2・2+1=5
より成り立つ
(2)n=Kのとき成り立つことを仮定し、n=K+1のときも成り立つことを示す
より K≧2 のとき、n=Kのとき成り立つと仮定すると
3^K>2K+1 (―(2))
n=K+1 を代入
3^(K+1)>2(K+1)+1 (―(3))
を示せばよい。
(2)の両辺に3をかけると、 ←☆
3^(K+1)>(2K+1)×3
3^(K+1)>6K+3 (―(2)')
(3)より
3^(K+1)-{2(K+1)+1}>(6K+3)-{2(K+1)+1}=4K>0 ←★
よって
3^(K+1)>2(K+1)+1
n=K+1のときも成り立つ
つまり すべての自然数nについて
3^n>2n+1 が成り立つ ■
☆と★がの所が分かりません。
☆は、3をかけて3^K>2K+1 (―(2)) を3^(K+1)>6K+3 (―(2)') とした意味が分かりません。
3^(K+1)>2(K+1)+1 (―(3)) を示すのだからこれをどうにかするのではないのですか?
★は、見てみると(3)と(2)'が使われているように見えるのですが、訳分かりません。どういうことですか?
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
☆
だって、3^Kと3^(K+1)では3倍違うんだから、3倍するでしょう。
★
(3)を証明したいんだから、★の式は(3)を移項しただけでゼロ以上を示せばよく、(2)'を★の式に代入して計算したら4Kになった。ここでもうやった!って感じ。
最後の〆で、そもそも、n=K+1 を代入したんだから、当然、4K=4(n-1)>0
No.2
- 回答日時:
(3) の「3^( K + 1 ) - 2 ( K + 1 ) + 1 > 0 」を示すには、
「3^( K + 1 )」がネックになるわけです。
ここで、仮定した(2)の「3^K > 2 K + 1」を両辺 3 倍することによって、「3^(k + 1) > 6 K + 3」
3^( K + 1 ) - 2 ( K + 1 ) + 1 > 6k + 3 - 2 ( k + 1 ) = 4k > 0
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