数理統計学の問題です。

X1、X2、…Xnをパラメータλのポアソン分布からの大きさnのランダム標本とするとき、(X1+X2+…+Xn)/nの分布を求めよ。

という問題です。
色々やってみたのですが、全くわからなくて参っています。
積率母関数の一意性とかを使うのかと思ったのですが、上手くいきません。
どなたかお願いします。

No.3 回答者： quaestio 回答日時： 2008/10/24 07:11

> よって、S=｛(X1+X2+…+Xn)/n｝の分布は、

> P(S=k/n)=(exp[-nλ]*(nλ)^k)/k!　（k=0,1,2…,n）
> によって与えられる。

その確率関数はK=X1+X2+…+Xnについてのものです。
では、S=｛(X1+X2+…+Xn)/n｝の確率関数はどうなるのかというと、次のように求めます。

K=kとなる確率は、

p(K=k) = (exp[-nλ]*(nλ)^k)/k!

となります。S=K/nという関係があるので、S=sとなる確率はK=n*sとなる確率と等しい。したがって、Sの確率関数は、

p(S=s) = p(K=n*s) = (exp[-nλ]*(nλ)^(n*s))/(n*s)!

となる。
あと、k=0,1,2…,nとありますが、ポアソン分布ならk=0～∞のはずです。

この回答へのお礼

なるほど、色々と見落としてしまっていました（汗）

やっとわかりました！ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2008/10/27 03:00

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2008/10/23 00:18

X1、X2、…Xnが独立でパラメータλ1,λ2,…λnのポアソン分布に従うとき、(X1+X2+…+Xn)はパラメータλ1+λ2+…+λnのポアソン分布に従います。

http://eom.springer.de/P/p073280.htm
n=2の場合、

　P(X1+X2=y)=P(X1=0,X2=y)+P(X1=1,X2=y-1)+…+P(X1=y,X2=0)
　=(exp[-(λ1+λ2)]/y!)ΣyCk・λ1^k・λ2^(y-k)　（k=0…y の和）
　=exp[-(λ1+λ2)](λ1+λ2)^y/y!

なのでパラメータλ1+λ2のポアソン分布であることが示されました。一般のｎの場合は帰納法で示せるでしょう。

この回答への補足

そういう方法もあったのですね。
私は、積率母関数の一意性によって求めました。
でも、(X1+X2+…+Xn)/nの分布の求め方はわかりません（汗）

補足日時：2008/10/24 00:28

No.1 回答者： quaestio 回答日時： 2008/10/20 21:52

X1+X2+…+Xnの分布がどうなるかわかりますか？

それがわかれば、(X1+X2+…+Xn)/nの分布に変換するだけです。

この回答への補足

ポアソン分布の再生性により、X1+X2+…+Xnの分布は、パラメータnλのポアソン分布です。
でも、変換の仕方がわからないんですよね…。一応参考書等を見ながら下記のような解答にたどり着きました。どうでしょうか？（汗）

X1、X2、…Xnをパラメータλのポアソン分布からの大きさnのランダム標本とすると、K=1+X2+…+Xnは、パラメータnλのポアソン分布に従う。
よって、S=｛(X1+X2+…+Xn)/n｝の分布は、
P(S=k/n)=(exp[-nλ]*(nλ)^k)/k!　（k=0,1,2…,n）
によって与えられる。

補足日時：2008/10/24 00:22