
リー代数gの二つの元X,Yに対して、行列ad(X)とad(Y)の積ad(X)ad(Y)のトレースである複素数を対応させ、リー代数のキリング形式をB(X,Y)=Tr(ad(X)ad(Y))と定義しています。ここでo(m,c):m次直交リー代数のキリング形式を考えて、B(X,X)とB(X,Y)を求めたいのです。B(X,X)=(m-2)Tr(Xの二乗)という結果は分かっているのですが、(ad(X)の二乗)z=(Xの二乗)Z-2XZX+Z(Xの二乗)のトレースの計算での導き出し方が分かりません。よろしければ教えてくれませんか?できれば、sp(m,c);m次斜交リー代数の方も教えていただけるとうれしいです。
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No.2
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島和久「連続群とその表現(岩波書店)」p.140-141に書かれています。
ただ、p.140「 X^2・Eij = Σ(X^2)liElj
よりZ∈gl(n,C)の1次変換
f:Z→X^2・Z
の跡は n Tr(X^2)」
というのは私には分かりにくかったのでもう少し詳しく書いておきます。Eijを基底としたときのfの成分(f)(ab)(ij)はΣ(X^2)liEljの中のEabの係数なので、
(f)(ab)(ij) = (X^2)aiδbj
よって
Tr(f) = Σ(X^2)iiδjj = n Tr(X^2)
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