確率【サイコロの目は毎回本当に1/6？】私が矛盾に感じる事を聞いてください！

サイコロの目の出る確率について教えてください。

●まず、サイコロを1回振った時に1が出る確率は1/6である。
●次に2回目にサイコロを振った時に続けて1が出る確率も1/6である。

2回目だろうと、3回目だろうと、サイコロを振る行為は、その都度の
事なので、確率はいつまでも変わらず1/6ということですよね。

でも私は少し納得がいかない（？）ことがあるのです。
以下の理由を聞いてください。

サイコロを振った時に出る確率は1～6まで毎回均等に1/6である。
故にサイコロを30回振った時の目の数は、1～6まで各5回ずつである。
でも実際は偶然も重なり、目の数にはかなりバラつきがあると思います。

しかしサイコロを振る回数を千回、1万回と増やしていくごとに若干の誤差は
あっても、各目の数は同じような数字に近づいていくのではないでしょうか。
そこで話が最初に戻ります。
1回目にサイコロを振った時に出た目が1だとします。
2回目にサイコロを振った時に出る目は2～6の確率が高いのではないですか？

何故なら最終的に各目の数が同じように揃うのなら、最初に1が出れば、2回
目には1以外の目が出ることにより、目の数が均等に分散しようとするのではないでしょうか。

すみません、つたない文章で質問の意味がお伝えできないかもしれません。
馬鹿らしいと思うかもしれませんが、できれば「そう決まっている」という
のではなく、具体的に説明をして頂けると嬉しいです。
（でも数学の知識は無いので難しい公式とかは分からないです。）

No.12 ベストアンサー 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/11/17 12:02

#10、11です。

さらにしつこくなってしまって申し訳ありません。#11の続きとして読んでください。

1回目が1であるという条件をつけると1万回全体では1が出る確率が少しだけ高くなっているにもかかわらず、これを1/6と考えてしまっているために、つじつまを合わせるには1回目が1なら2回目以降で1が出る確率が低くなっているのでは？と感じてしまうのではないかと思います。

No.13 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2008/11/18 11:18

仮に純粋に１／６の確率でおのおのの目が出るサイコロがあったとします。

質問者さんが初めてサイコロを振りました。１の目が出る確率は１／６であるのはわかると思います。
ところが、実はその前に私が隠れて５回振って５回とも１でした。
するとその前の１／６だと思っていた質問者さんのサイコロの確率は変わってしまうのでしょうか？

単純にいえば、確率というのは有限の回数の中では考えられないことなのです。
無限の回数の中の限られた現象を確率という言葉で現しているのです。

No.11 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/11/17 11:18

#10 さらにくどくなってすみません。

ご質問にあるように1万回サイコロを振るとして最初の1回目が1であったら、その条件をつけたことによって1回目が1以外であった場合が除外されることになり、1万回全体では1が出る確率が1以外が出る確率よりもほんの少しだけ高いのです。2回目以降に1が出る確率が低くなっているのではありません。

No.10 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/11/17 11:10

> 何故なら最終的に各目の数が同じように揃うのなら、最初に1が出れば、2回目には1以外の目が出ることにより、目の数が均等に分散しようとするのではないでしょうか。

その疑問は、回数を多くしなくても同じように感じる疑問ではないですか？
例えば、赤玉と白玉が1個ずつ入った袋から玉を1個取り出して戻すということを2回やる場合を考えてみます。
確率通りの現象が起きるとすれば赤玉と白玉が1個ずつですから、1回目に赤玉が出たら2回目は必ず白玉になるはずなのになぜならないのかという疑問なのではないでしょうか。
それは、「1回目に赤玉が出た場合」という条件をつけた段階で「1回目が白玉が出た場合」を除外しているからです。
具体的には、この実験を実際に行う場合を考えてみてください。赤赤、赤白、白白、白赤の4通りが同じ確率で起きるはずで、これらを合計すると確かに赤玉4個と白玉4個ですから赤と白に偏りはありません。ここで「1回目に赤玉が出た場合」だけに絞ろうとすると、1回目に白が出たら実験をやり直すことになります。赤赤、赤白の2通りが残ることになり、2回目が何色であるかの確率は赤、白それぞれ1/2です。このとき、確率が変化してしまっているのは1回目の確率です。白は除外してしまうのですから赤しかありえず、1回目は赤である確率が1です。2回の合計で考えると赤玉：白玉＝3：1と偏りがあり、2回全体では赤が出る確率が3/4、白が出る確率が1/4です。この白が出る確率1/4と比較すれば2回目に白が出る確率1/2は高くなっています。変化しているのは2回目の確率ではなく、比較の対象である全体での確率の方です。

元の問題に戻ります。
「1回目に1が出た場合」という条件をつけた上で1回目も含めて確率を考えると1が出る確率が高くなってしまっているのです。相対的に1以外が出る確率（1回目も含めて考えた確率）はそれぞれ1/6よりも低くなってしまっているのです。2回目以降はどの目も1/6で出ますから、1回目も含めて考えた確率と比較すれば1が出る確率は小さくなり1以外の目が出る確率は高くなります。くどくなりますが、ここで低くなったり高くなったりしているのは「1/6よりも」ではなく「1回目が1が出た場合に1回目も含めて考えた確率よりも」です。

No.9 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/11/17 02:54

> しかしサイコロを振る回数を千回、1万回と増やしていくごとに若干の誤差は

> あっても、各目の数は同じような数字に近づいていくのではないでしょうか。
> そこで話が最初に戻ります。
> 1回目にサイコロを振った時に出た目が1だとします。
> 2回目にサイコロを振った時に出る目は2～6の確率が高いのではないですか？
>
> 何故なら最終的に各目の数が同じように揃うのなら、最初に1が出れば、2回
> 目には1以外の目が出ることにより、目の数が均等に分散しようとするのではないでしょうか。

では、逆を示してみます。
質問者さんが仰るような『確率の変化』が無かったらどうなるかという話です。

(1) 例えばサイコロAを100回投げて、連続で1の目が出たとします。

(2) (1)の後に続けてサイコロAを600回投げて、1～6の目が100回ずつ出たとします
（つまり連続で1の目がでても、2～6の目が出る確率は高くならなかった）。
そうすると
サイコロAで1の目が出る確率は200/700 ≒ 28.6%
サイコロAで2の目が出る確率は100/700 ≒ 14.3%
サイコロAで3の目が出る確率は100/700 ≒ 14.3%
サイコロAで4の目が出る確率は100/700 ≒ 14.3%
サイコロAで5の目が出る確率は100/700 ≒ 14.3%
サイコロAで6の目が出る確率は100/700 ≒ 14.3%
です。

(3) (1)の後に続けてサイコロAを6000回投げて、1～6の目が1000回ずつ出たとします。
そうすると
サイコロAで1の目が出る確率は1100/6100 ≒ 18.0%
サイコロAで2の目が出る確率は1000/6100 ≒ 16.4%
サイコロAで3の目が出る確率は1000/6100 ≒ 16.4%
サイコロAで4の目が出る確率は1000/6100 ≒ 16.4%
サイコロAで5の目が出る確率は1000/6100 ≒ 16.4%
サイコロAで6の目が出る確率は1000/6100 ≒ 16.4%
です。

(4) (1)の後に続けてサイコロAを600000000回投げて、1～6の目が100000000回ずつ出たとします。
そうすると
サイコロAで1の目が出る確率は100000100/600000100 ≒ 16.6666806%
サイコロAで2の目が出る確率は100000000/600000100 ≒ 16.6666639%
サイコロAで3の目が出る確率は100000000/600000100 ≒ 16.6666639%
サイコロAで4の目が出る確率は100000000/600000100 ≒ 16.6666639%
サイコロAで5の目が出る確率は100000000/600000100 ≒ 16.6666639%
サイコロAで6の目が出る確率は100000000/600000100 ≒ 16.6666639%
です。
各目が出る確率はほとんど一緒ですよね。

結局『連続100回1の目が出た後に、2～6の目が出る確率が高くなる』
ということが起こらなくても、1～6の目がでる確率はどれも
1/6 = 16.6666……%に近づいていきます。

サイコロを振った回数が少なければ『1の目が出た回数は100回も多い』となりますが、
サイコロを振った回数が多くなると『1の目が出た回数はたった100回しか多くない』となるんです。
1000回の試行に対して「100回」という数は全体の10%にもなりますが、
1億回の試行に対して「100回」という数は全体のたった0.0001%です。
例え1の目が他の目よりも100回多く出たとしても、
サイコロを1億回振った状況ではたった0.0001%しか違いがないんです。

No.8 回答者： orcus0930 回答日時： 2008/11/17 01:28

２回目も各目の出方が1/6であるサイコロを使ってるんです。

あなたが言いたいのは、
たとえば、６万回やれば、それぞれが１万回出るから、
最初が１なら次は別の数が出るべきだろ、という主張だと思いますが、

実際のところは、「大体」そのくらいになるというだけであって、
厳密に６万回のうち１万回ずつ出るわけではないのです。

要は、６億回投げたら、１億回と１億１回の差はほとんど気にならないでしょ?　ってこと

じゃあ、実際に６回、６０回、６００回、６０００回、・・・・
と投げた時に1,2,3,4,5,6が同じ回数出る（1回、10回、100回、1000回、・・・）確率を計算してみましょう。
Maximaを使って計算してみました。

6回　　　0.015432098765432
60回　　7.4562700546652001*10^-5
600回　　2.463285825523495*10^-7
6000回　7.823747736781498*10^-10
6万回　　2.4751689181953946*10^-12
60万回　7.8275138213909205*10^-15

とまあ、厳密に均等に各目が出現する確率はものすごく低いわけです。
その周辺に大半が収まるという話。
正規分布にのっとるはずです。

No.7 回答者： noname#111804 回答日時： 2008/11/17 00:16

＞●次に2回目にサイコロを振った時に続けて1が出る確率も1/6である。

ここが間違っています。１/6ではなく１/３６です。

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/16 23:53

一番重要なことを勘違いしています。

(1) まず、サイコロを1回振った時に1が出る確率は1/6である。
(2) 次に2回目にサイコロを振った時に続けて1が出る確率も1/6である。

…は、論証できるような事実ではなく、
計算を始めるための仮定に過ぎません。

＞ 2回目にサイコロを振った時に出る目は2～6の確率が高いのではないですか？

…と問うことに意味は無く、単に (2) と仮定したから、
「仮定により」 ２回目にサイコロを振った時に続けて1が出る確率も 1/6 である
というだけの話なのです。

(2) と異なる仮定だって、しようと思えばできます。
例えば、非常に弱い紙でできたサイコロを考えてみましょう。
１回目にサイコロを振ったとき、地面に着いた衝撃でサイコロが変形します。
変形のしかたは、１回目に出た目(どの面が地面に当たったか)の影響を受ける
でしょうから、
２回目に出る目の確率は、１回目に出た目によって微妙に異なるでしょう！

黙って「サイコロ」と言えば、普通、誰もそんなサイコロを考えてはいない
ということです。これは、「サイコロ」という言葉が伝えるイメージの問題
でしかなく、確率の問題ではありません。

(2) は、数学上保証される定理などではなく、
計算をする人が、自分の主観と責任において仮定する事項です。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/16 22:27

こんばんは。

＞＞＞しかしサイコロを振る回数を千回、1万回と増やしていくごとに若干の誤差はあっても、各目の数は同じような数字に近づいていくのではないでしょうか。

イメージとしては、そのような感じなのですが、ちょっと違います。
何回も振って、それぞれの目が出た回数を数えていくと、それぞれの回数の差自体は増えていきます。
同じようになっていくのは、回数ではなく、回数の比です。

当たり前のことなのですが、「大数の法則」という立派な名前がついています。
回数の比の誤差は、サイコロを振った回数の平方根に反比例します。


＞＞＞
そこで話が最初に戻ります。
1回目にサイコロを振った時に出た目が1だとします。
2回目にサイコロを振った時に出る目は2～6の確率が高いのではないですか？

いえ。絶対にそうはなりません。
コンピュータでそういう‘サイコロ’を作ることは可能ですが、
実際のサイコロにはそういう構造がないし、サイコロ自身が前に出た数を覚えているわけでもありません。

サイコロ以外であれば、あなたがおっしゃることが起こる場合もあります。
たとえば、トランプのカードです。
１枚ずつ取っていくとき、最初にスペードが出れば、２回目はスペード以外の確率が高くなります。
これは、スペードの枚数が１枚減ったからです。
あらかじめジョーカーを除いておいて、１枚ずつ引いていくと、
最終的に、スペード、ハート、ダイヤ、クラブがぴったり同じ枚数（１３枚）になります。
何度やっても同じですから、「誤差」（回数のばらつき）はゼロです。
くじの類も、同じようなことになります。


以上、ご参考になりましたら。

No.4 回答者： tadatake8 回答日時： 2008/11/16 22:24

１回の事象と考えると、すべて確率は1/6 です。

ただし確率は、１回目の事象と2回目の事象を関連して考えると。。。
「1回目に１がでて、2回目に１が出る確率」
1/6 * 1/6 = 1/36　となります。

つまりjaikooooさんが矛盾に思われているものは、
「1回目に１がでて、2回目に１以外が出る確率」
1/6 * 5/6 = 5/36 　となります。

jaikooooさんはある意味間違っていません。