数字が出そろうのは、何回目ですか。

1からnまでの自然数があるとします。

ポタンを押すと、ランダムに1からnまでのうちのひとつの数字が抽出されます。そして、ボタンを押したら、どの数字が出る確率も1/nです。

ボタンは、平均して、何回押したら、1からnまでの数字がすべて出そろいますか。

・・・
備考

例えば、サイコロならn=6であり、サイコロを投げて1から6までの出目が全て出そろうためには、平均して何回サイコロを投げることになるのか？というような質問です。

No.11 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/22 21:11

>分母が変わっていく足し算をnの式で、「…」を使わずに表すことはできますか。

調和級数を表す記号を使えばできます。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/22 13:31

＞ 英語が読めません。

同じサイトに、和文の解説あるよ。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%BC …

No.9 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/22 09:54

#4です。

タイプミスを修正させて下さい。スミマセンでした。

誤）（期待値）＝n/n＋n/(n-1)＋n/n(n-2)＋・・・＋n/1

正）（期待値）＝n/n＋n/(n-1)＋n/(n-2)＋・・・＋n/1

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/22 08:59

n×(nの調和数)≒nlogn(nが充分大きい場合の近似値)

https://manabitimes.jp/math/1053

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/22 00:04

以前、この問題を計算したことがあったので紹介します。

添付のグラフは、40アイテムのコンプガチャのケースです。
横軸が購入数、縦軸はコンプリート出来た人の発生数です。シミュレーションではなく厳密計算した結果です。

だいたい横軸80個あたりからコンプリート達成者が現れ、150個の手前あたりで最頻値（僕も私も！）となります。

縦線が引いてある箇所が中央値で、半数の子供がコンプリート達成する162個です。

150個手前でみんなが騒ぎ出すんです。じゃあ、171個という計算上の期待値はなんだったんか！ということになります。

お断り、
グラフが170個より右側が無いのは、コンピュータの浮動小数点演算がオーバーフローして計算できなかったからです。（私のアルゴリム能力不足）

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/21 23:41

英語が読めないなら日本語で読めばいいと思うのだ.

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/21 23:25

#4です。

もうひとつ、重要なことを述べるのを忘れていました。

ある子供が40アイテム揃えるには平均171個購入しないといけないですが、
でも、そのような子供が多数いると、半数の子供は162個目でコンプリートしています。

ここが、単純な問題ではない、と言われるゆえんで、個人の視点と、集団の視点で答が違うのです。

この162個目という数を出すのに、第二種スターリング数を用いた漸化式が必要となります。

面白いですよね。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/04/21 23:06

これは、日本ではコンプガチャ問題、欧米ではクーポンコレクター問題として知られている問題です。

つまり、ｎ種のアイテムがあって、それらが同一確率で出現するとき、ガチャを何個購入すれば、全てのアイテムをコンプリートできるか、その期待値を求めよ、という問題です。

まず、この前提となるのが、幾何分布です。
確率ｐの不良品があるとき、１個ずつ検査をしていくと何個目で不良が発見できるか、その期待値は？という問題ですが、期待値は１／ｐです。確率の逆数です。
ｐ＝0.1なら、平均10個調べれば、不良を発見できます。

では、ガチャではどうなるでしょう。

最初の１アイテム目は、出現確率は１／ｎですが、それはｎ種類中どれでも良いので、
確率は、ｎ×１／ｎ＝ｎ／ｎ、その逆数は１、つまり１回目で100％何か出てきます。

次の２アイテム目は、得たいアイテムは（ｎー１）種類に減ります。
確率は、（ｎー１）×１／ｎ＝（ｎ－１）／ｎ、その逆数はｎ／（ｎ－１）、
２アイテム目が出るまで、平均ｎ／（ｎ－１）個購入する必要があります。

よって、ガチャをコンプリートするまでの購入数の期待値は、

（期待値）＝n/n＋n/(n-1)＋n/n(n-2)＋・・・＋n/1

となります。

詳しくは「クーポンコレクター問題」で検索してみて下さい。
この確率質量を、第二種スターリング数で漸化式化したものを見ることができると思います。おっしゃるように、そんな単純な話ではないです。

ちなみに、
40アイテムあれば、171個も購入しなければ集まりませんし、
365日の誕生日が揃うには、2364.6人集める必要があります。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/21 21:09

何回押すか？だった

全部が揃う確率が(1/n)ⁿ =1/nⁿだから、確率1にする為には

nⁿ回押す。

サイコロの例だと、6⁶=46656回

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/21 21:04

1の目が出る確率は1/n

2の目が出る確率は1/n
・
・
nの目が出る確率は1/n

全部が揃うのだから、従属事象

∴(1/n)ⁿ