固有値展開の元の行列と固有ベクトルの関係

ある正方行列Aが固有値展開により
A=EVE(H)
に分解できるとします。(H)はエルミート転置。
VはAの固有値成分の対角行列、Eは対応する固有ベクトルを列とする行列とします。

このときEを構成するベクトルek(k=1～K)は
ある程度Aの成分と対応するのでしょうか？

表現しにくいのですが例えば
Aが8×8行列のときK=8でe1～e8まであるとして、その中の一部
e1～e4はAの(1,1)から(4,4)までの部分行列の固有値展開に近い値になるのでしょうか？

No.1 回答者： echoes_x86 回答日時： 2009/02/02 06:21

おはようございます．

固有値と元の行列の要素との関係とのことですが，
「摂動定理」がそれに近いかと思います．
ようするに元の行列の要素を操作したとき，
固有値がどれだけ揺れるか，あるいはその逆に関するものです．
これは数値解析の分野でかなり古くから研究されていることだったかと．

また，
>e1～e4はAの(1,1)から(4,4)までの部分行列の固有値展開に…
とのことですが，Aがブロック対角行列であるなどの極端な例でない限り，
これは無関係です．
というのも，行列Aを適当なユニタリ変換Qで
A' := Q*A*Q(H)
としたとき，Qの選択方法によってはAとA'の左上部分行列は似ても似つかないものとなるでしょうが，
AとA'の固有値は同一だからです．
ユニタリ変換では固有値は変化しませんので，
上記の「摂動定理」も要素の配置と無関係な「変動の平方和」に関するものだったと思います．

この回答への補足

Aはエルミート行列です。
実対称行列の場合，元の行列の固有値と部分行列の固有値が降順になる
分離定理が成り立つらしいのですが，エルミート行列でも同様でしょうか？

完全依存ではなくてもいいのですが
部分行列の固有ベクトルが元の行列の固有ベクトルにある程度関係する
という根拠がほしいのです・・・

補足日時：2009/02/02 22:03