10億円を、金利3%で、毎年定額幾ら使うと、きっかり30年で使いきれますか？

初めまして。
よろしくお願いいたします。

質問は
「10億円を、金利3%で、毎年定額幾ら使うと、きっかり30年で使いきれますか？」
です。

サイクルとしては、
今年の手持ちの金額から、とある金額Aを消費し、残った金額に1.03をかけた
ものが翌年の持ち越し金額になります。

解くにはどうしたらいいのでしょうか？
いま色々メモ帳で考えたのですが、

　x1=1000000000
(x1-A)*1.03=x2
(x2-A)*1.03=x3
...
x30=A

にすればいいんだろうなぁと思ったのですが、
数式がよくわかりません・・。
なんだかプログラミングみたいで、手書きで解けない・・。
もっと綺麗な式になると思うんですけども～。

オープンオフィス・マースというのも入れてみたのですが、
どうも操作方法がわからず困っております。
スッキリ解けるひと、教えてくださいぃ～。

No.1 回答者： toshih2000 回答日時： 2009/03/15 16:54

こういうのはいきなり30年で計算しようとすると混乱するので

まず、2年～3年くらいで計算すると先が見えてくると思います。

2年で計算すると (p=1.03としておきます。)
(x1-A)p=x2=A となって
A=px1/(1+p)

3年で計算すると
(x1-A)p=x2
(x2-A)p=x3=A
より
(x1-2A)p=A となり
A=px1/(1+2p)

これらから
30年だと

A=px1/(1+29p)
と予測できます。これが正しいとするならば
A=約3300万円 になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます＾＾
それでは3番さんの回答を見てみます。

お礼日時：2009/03/16 23:19

No.2 回答者： gef00675 回答日時： 2009/03/15 17:04

複利計算には等比数列の和の考えを使います。

その一定額を1年の初めで使うか、1年の終わりで使うかで、１年分の利子が違ってきますので、1年の初めに使う（計３１回使う）ということですね？
毎年の初めにＸ円使うとして、
ｎ年後の年初の残高をZn円,
金利をr=0.03
とすると、残高は次のように変化していきます。
Z0=10億円-X
Z1=Z0+Z0*r-X
Z2=Z1+Z1*r-X
Z3=Z2+Z2*r-X
...
Z28=Z27+Z27*r-X
Z29=Z28+Z28*r-X
Z30=Z29+Z29*r-X = 0円
残高Z1,Z2の式を次々に代入・消去していくと、
Z1=Z0*(1+r)-X
Z2=Z1*(1+r)-X=Z0*(1+r)^2-X*((1+r)+1)
Z3=Z2*(1+r)-X=Z0*(1+r)^3-X*((1+r)^2+(1+r)+1)
...
Z30=Z29*(1+r)-X
=Z0*(1+r)^30-X*((1+r)^29+...+(1+r)^2+(1+r)+1)
ここで、等比数列の和が
(1+r)^29+...+(1+r)^2+(1+r)+1＝((1+r)^30-1)/r
と表せることを利用すると、
Z30=Z0*(1+r)^30-X*((1+r)^30-1)/r
これが３０年後の残高になります。
いま、Z0=10億-Xで,Z30=0なので、
(10億-X)*(1+r)^30-X*((1+r)^30-1)/r = 0
Ｘについて解くと、
X=10億/(1+((1+r)^30-1)/(r*(1+r)^30))
=10億/(1+(1.03^30-1)/(0.03*1.03^30))
=48,542,649.3...
となって、端数は出ますが、4854万2649円になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます＾＾

等比数列がよくわかってないので、
「あれ～、シグマとか使うのかなー」
とぼんやり悩んでました。

もいっかい勉強してきます！（笑

お礼日時：2009/03/16 23:46

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/16 01:15

x[n+1] = 1.03 (x[n] - A)　…(1)

ですね？

少し式を変形すると、
x[n+1] - B = 1.03 (x[n] - B)　…(2)
となって、x[n] - B が等比数列になる
気がしませんか？

そのような B を求めるために、
(1) と (2) の左辺同士、右辺同士を引き算すると、
B = - 1.03 A + 1.03 B
となって、B = (1.03/0.03) A　…(3)
にしておけばよい ことが判ります。

(2) から、x[n] - B = (10億 - B) 1.03^n ですから、
x[30] = 0 となる B は、0 - B = (10億 - B) 1.03^30 を解いて
B = 10億 × 1.03^30 / (1.03^30 - 1)。
(3) から、A = 10億 × { 1.03^30 / (1.03^30 - 1) } ÷ (1.03/0.03)
となります。

大雑把にいって、A ≒ 10億 × 0.03 ぐらいですね。
電卓によると、A ≒ 4953万3261円（小数点以下端下あり）
と出ました。
「きっかり30年で」という訳には、いかない様です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます＾＾
等比数列・・って何でしたっけ？（笑
でも、作りたかった式はたぶんこれです。このエレガントなもの。
　＞x[n] - B = (10億 - B) 1.03^n

は～。実にスッキリしました。
等比数列勉強します（笑

数字は、PMT関数というのを使ったらピタリ合ってました（笑
でも手書きですらっと解けないとかっこわるいですね～

お礼日時：2009/03/16 23:42

No.4 回答者： srafp 回答日時： 2009/03/16 10:29

あの～その手の問題はファイナンス側では係数を使って算出しておりますし、エクセルの関数にも存在します。

ファイナンス側で教わった事を書きますと、「資本回収係数」というものを使います。
私が参考にしたサイトでの入力結果が正しければ、毎年約５１００万円消費していけば、３０年間で使い切る事となります。
http://www.iseeit.jp/ec-sub-060718-6.php#result
［検算］
受取総額　５１００万円×30年＝１５億３０００万円
→期間の利息は５億３千万円　
平均金利（利回り）は、凡そ金利の半分となるから
１０億円×３０年×1.5％＝３００×１．５÷１００＝４．５億円
まあ、当たらずも遠からずと言う事で・・

エクセルでしたら、ＰＭＴ関数を使うそうです。
http://www.relief.jp/itnote/archives/003194.php

この回答へのお礼

回答ありがとうございます＾＾
pmt関数を使ったら、驚くほど簡単に数字がでました（笑
これは便利だなぁ～

便利すぎて、間の式が全くわからないままなので、
他の皆さんの回答を見せてもらおうと思います！（笑

お礼日時：2009/03/16 23:22

No.5 回答者： toshih2000 回答日時： 2009/03/16 20:46

#1 です。

思いっきり間違ってました。

#3の回答が正しいようです。

No.6 回答者： gef00675 回答日時： 2009/03/17 06:01

＃２は年初に支出して、３１回使うときの金額でしたが、

年初に支出して、３０回使うのなら＃３の回答でよいです。