行列A=
(-1,0,0,1)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(4,0,0,-1)

について。
Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。

という問題がわかりません。
自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。
λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。
問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。
このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から
t^(1,0,0,2)
t^(0,1,0,0)
t^(0,0,1,0)
を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか?
あと、この後どうやったらいいのかわかりません。
いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。
教えてください。

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A 回答 (3件)

>t^(1,0,0,2)


>t^(0,1,0,0)
>t^(0,0,1,0)
>を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか?
間違っていませんよ。

>いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。
基底の列ベクトルをそのまま横に並べれば正則行列Pになります。

つまり、
P=
(1,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
(-2,2,0,0)

P^(-1)=
(1/2,0,0,-1/4)
(1/2,0,0,1/4)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
となりますので
P^(-1)AP=
(-3,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)

を計算すれば対角化されますね。
対角要素はもちろん固有値(-3と3個の1)になることは言うまでもありません。
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rank(A-1E)=3 を正しく求めたのは、立派。


だけど、せっかく求めたのだから、この値が
固有値 1 の重複度 3 と一致していることから、
A が対角化可能であることを判定できないと。
この部分、勘違いがあるようなので、
教科書を復習のこと。

質問の A を対角化するだけなら、
(x,y,z,w) を (x,w) と (y,z) に分解するのが、
簡単。
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t^(1,0,0,2)


は z=2x を満たすの?
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Q固有ベクトルと基底

まず行列Aの固有値を求めてから、次に「Aの各固有値に属する固有空間の基底を求めよ」という問題で悩んでいます。
ここでの「各固有値に属する固有空間の基底」とは、固有ベクトルのことですか?よって各固有値における固有ベクトルを示せば良いのですか。
それとも、その固有ベクトルを列成分にもつ行列Pのことですか。
すみませんが、教えて下さい。

Aベストアンサー

> 固有空間の基底は、(1 1 1)で良いのでしょうか。
良いでしょう。
というより基底としても問題ないということです。
基底となる条件は列ベクトルが1次独立であること。列ベクトルの線形結合で固有ベクトルはいくつも作れますが、一次独立な列ベクトルであれば、基底に選べますので、(0 0 0)を除く固有ベクトルはどれでも、基底に選べます。


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