行列A=
(-1,0,0,1)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(4,0,0,-1)

について。
Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。

という問題がわかりません。
自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。
λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。
問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。
このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から
t^(1,0,0,2)
t^(0,1,0,0)
t^(0,0,1,0)
を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか?
あと、この後どうやったらいいのかわかりません。
いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。
教えてください。

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A 回答 (3件)

>t^(1,0,0,2)


>t^(0,1,0,0)
>t^(0,0,1,0)
>を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか?
間違っていませんよ。

>いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。
基底の列ベクトルをそのまま横に並べれば正則行列Pになります。

つまり、
P=
(1,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
(-2,2,0,0)

P^(-1)=
(1/2,0,0,-1/4)
(1/2,0,0,1/4)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
となりますので
P^(-1)AP=
(-3,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)

を計算すれば対角化されますね。
対角要素はもちろん固有値(-3と3個の1)になることは言うまでもありません。
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rank(A-1E)=3 を正しく求めたのは、立派。


だけど、せっかく求めたのだから、この値が
固有値 1 の重複度 3 と一致していることから、
A が対角化可能であることを判定できないと。
この部分、勘違いがあるようなので、
教科書を復習のこと。

質問の A を対角化するだけなら、
(x,y,z,w) を (x,w) と (y,z) に分解するのが、
簡単。
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t^(1,0,0,2)


は z=2x を満たすの?
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Q行列・対角化可能の条件は?

行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。
問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。
3×3行列で固有値が3つ、全て異なる場合は対角化可能。
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
では、固有値が2つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか?
例えば

   -3 -2 -2
B=[ 2  1  2  ]
    2  2  1

 の時、固有値は1、-1(重解)ですが対角化可能です。なぜでしょうか?宜しくお願いします。

Aベストアンサー

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。

3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q線形数学です これを対角化せよという問題で 自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに なってしまい

線形数学です
これを対角化せよという問題で
自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに
なってしまい対角化できません
答えでは対角化できているのですが
お願いします

Aベストアンサー

No.2です。
すみません、書き間違いがありました。

固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,-2)です。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q線形代数 対角化

以前、可換かつそれぞれが対角化可能な2つの行列の同時対角化のことで質問をした者です。またお力をお借りしたく投稿しました。

それぞれが可換で、対角化可能な3つの行列、の場合にことを拡張しようと思っているのですがなかなかうまくいきません。どうしたらこの3つの行列が同時に対角化できることを示せるのでしょうか?

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

前回のところでも書いたのですが、もう一言だけ。理論的には同時対角化の証明ができましたが、実際にどうやるかここで書いてみます。A,B,Cは全部互いに可換な対角化可能な行列で、簡単のためそれぞれ固有値α1、α2、β1、β2、γ1、γ2をもつとしましょう、そして次のものを求めます。
W(α1)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ2)
そしてここからそれぞれ次元分だけ一次独立なベクトルを取り出して、それを並べた行列を作れば必ず対角化できます。もしもとの行列が4次だとすれば、すくなくとも上のうち4つは0次元のベクトル空間になってつぶれてしまっていますけれど。

僕も同時対角化の証明を理解するまでになんと1年近くもかかった経緯がありますが、これはたぶん難しい問題なんだろうと思います。もう一度理論的な証明を眺められてから、2次元の行列A,Bで同時対角化を実際の計算問題で試してみられたらよいかも知れません。なんとなくその構造が見えてくるのではないでしょうか。

ちなみに上のように各固有空間の共通部分をとったものは、当然互いに直交しますが、これらを全部足し合わせたものの次元が行列の次元に一致する場合が対角化可能になっています。それは、1次独立なベクトルが行列の次数分とれれば正則行列が作られるからですね。逆に行列の次数に満たない場合は1次独立なベクトルが足りなくなります。それは同時に対角化できるような正則行列がとれないことを意味するわけです。そして先ほどの証明は行列が互いに可換だったら、かならず上の固有空間の共通部分を全部あわせたものが行列の次数まで一致することを証明したことになっているのです。

前回のところでも書いたのですが、もう一言だけ。理論的には同時対角化の証明ができましたが、実際にどうやるかここで書いてみます。A,B,Cは全部互いに可換な対角化可能な行列で、簡単のためそれぞれ固有値α1、α2、β1、β2、γ1、γ2をもつとしましょう、そして次のものを求めます。
W(α1)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ2)
そしてここからそれぞれ次元分だけ一次独立なベクトルを取り出して、...続きを読む

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q行列の対角化ができません。

行列の対角化ができません。

対角化が解りません、基本的には固有値→固有ベクトル→対角化と思うのですが、
お知恵を貸して下さい。以下問題です。

(3 3 1)
(3 9 -1)
(1 -1 1)の対角化です。

固有方程式を作り、サラス式で展開すると(固有方程式の変数にtを用います)
t^3-13t^2+28t=t(t^2-13t+28)
より固有値は0と(13±√(57))/2となります。

余因数展開で展開しても同様の結果になります。

この値からの対角化は困難に思えます。
これはどこかで計算を間違えたのでしょうか?

Aベストアンサー

問題の行列の成分を書き間違えていなければ、
別段、間違いは無さそうです。
固有値に重根がないことから、その行列は
対角化可能で、特に困難はないでしょう。
単に面倒臭いという話では?

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q調和振動子のハミルトニアンの対角化

調和振動子のハミルトニアンの対角化

(1)式は(2)式のようなハミルトニアンを完全に対角化していることがわかる、
と教科書に書いてあったのですが、どうしてでしょうか?
ここで言われている対角化という操作が何を意味しているのかわかりません。

Aベストアンサー

行列の対角化という操作であれば何を意味するのかは分かるのですかね?
演算子(or線形変換)の表現行列(行列表示など別の言い方もありますが)がどういうものを指しているのかはご存知ですか?

両方ともご存知であれば、今の文脈ではハミルトニアンの表現行列を対角化することなのですか。

QF(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_n)t^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また,下記の表を作って,(a_n)/(a_(n+1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

n  (a_n)  (a_(n+1)/a_n)
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

t^2t^3=t^5ならば
F(t)=(1+t)^2/(1-t^5)
=(1+2t+t^2)Σ_{k=0~∞}t^{5k}
=Σ_{k=0~∞}(t^{5k}+2(t^{5k+1})+t^{5k+2})
=Σ_{n=0~∞}(a_n)t^n
a_{5k}=1
a_{5k+1}=2
a_{5k+2}=1
a_{5k+3}=0
a_{5k+4}=0
n (a_n) (a_(n+1)/a_n)
5k , 1 , 2
5k+1 , 2 , 1
5k+2 , 1 , 0
5k+3 , 0 , 不定
5k+4 , 0 , ∞


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